Lösung 1.1:3

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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The ball hits the ground when its height is zero, i.e. when
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Der Ball ist auf dem Boden angelangt, wenn seine Höhe null ist, also wenn
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{{Abgesetzte Formel||<math>h(t) = 10-\frac{9\textrm{.}82}{2}t^{2} = 0\,\textrm{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>h(t) = 10-\frac{9\textrm{,}82}{2}t^{2} = 0\,\textrm{.}</math>}}
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This quadratic equation has the solutions
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Diese quadratische Gleichung hat die Lösungen
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{{Abgesetzte Formel||<math>t=\pm\sqrt{\frac{2\cdot 10}{9\textrm{.}82}}\,,</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>t=\pm\sqrt{\frac{2\cdot 10}{9\textrm{,}82}}\,.</math>}}
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where the positive root is the time when the ball hits the ground.
+
Die positive Lösung entspricht dem Zeitpunkt, zu dem der Ball auf dem Boden auftrifft.
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We obtain the ball's speed as a function of time as the time derivative of the height,
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Die Geschwindigkeit des Balles entspricht der Ableitung der Funktion <math> h </math>
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{{Abgesetzte Formel||<math>v(t) = h'(t) = \frac{d}{dt}\,\Bigl(10-\frac{9\textrm{.}82}{2}t^2\Bigr) = -9\textrm{.}82t\,\textrm{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>h'(t) = \frac{d}{dt}\,\Bigl(10-\frac{9\textrm{,}82}{2}t^2\Bigr) = -9\textrm{,}82t\,\textrm{.}</math>}}
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If we substitute the time when the ball hits the ground, we obtain the ball's speed at that instant,
+
Und wir erhalten die Geschwindigkeit des Balls beim Auftreffen auf dem Boden, indem wir <math> h^\prime </math> an der Stelle <math> t = \sqrt{\frac{2\cdot 10}{9\textrm{,}82}} </math> auswerten.
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
v\Bigl(\sqrt{\frac{2\cdot 10}{9\textrm{.}82}}\,\Bigr)
+
h^\prime\Bigl(\sqrt{\frac{2\cdot 10}{9\textrm{,}82}}\,\Bigr)
-
&= -9\textrm{.}82\cdot\sqrt{\frac{2\cdot 10}{9\textrm{.}82}}\\[5pt]
+
&= -9\textrm{,}82\cdot\sqrt{\frac{2\cdot 10}{9\textrm{,}82}}\\[5pt]
-
&= -\sqrt{9\textrm{.}82^2\cdot\frac{2\cdot 10}{9\textrm{.}82}}\\[5pt]
+
&= -\sqrt{9\textrm{,}82^2\cdot\frac{2\cdot 10}{9\textrm{,}82}}\\[5pt]
-
&= \sqrt{9\textrm{.}82\cdot 2\cdot 10}\\[5pt]
+
&= \sqrt{9\textrm{,}82\cdot 2\cdot 10}\\[5pt]
-
&= -\sqrt{196\textrm{.}4}\\[5pt]
+
&= -\sqrt{196\textrm{,}4}\\[5pt]
-
&\approx -14\textrm{.}0\,\textrm{.}
+
&\approx -14\textrm{,}0\,\textrm{}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
The minus sign indicates that the speed is directed downwards, and the ball's speed is therefore 14.0 m/s.
+
Das Minuszeichen zeigt an, dass der Ball sich abwärts bewegt. Die Geschwindigkeit des Balles ist also 14,0 m/s.

Aktuelle Version

Der Ball ist auf dem Boden angelangt, wenn seine Höhe null ist, also wenn

\displaystyle h(t) = 10-\frac{9\textrm{,}82}{2}t^{2} = 0\,\textrm{.}

Diese quadratische Gleichung hat die Lösungen

\displaystyle t=\pm\sqrt{\frac{2\cdot 10}{9\textrm{,}82}}\,.

Die positive Lösung entspricht dem Zeitpunkt, zu dem der Ball auf dem Boden auftrifft.

Die Geschwindigkeit des Balles entspricht der Ableitung der Funktion \displaystyle h

\displaystyle h'(t) = \frac{d}{dt}\,\Bigl(10-\frac{9\textrm{,}82}{2}t^2\Bigr) = -9\textrm{,}82t\,\textrm{.}

Und wir erhalten die Geschwindigkeit des Balls beim Auftreffen auf dem Boden, indem wir \displaystyle h^\prime an der Stelle \displaystyle t = \sqrt{\frac{2\cdot 10}{9\textrm{,}82}} auswerten.

\displaystyle \begin{align}

h^\prime\Bigl(\sqrt{\frac{2\cdot 10}{9\textrm{,}82}}\,\Bigr) &= -9\textrm{,}82\cdot\sqrt{\frac{2\cdot 10}{9\textrm{,}82}}\\[5pt] &= -\sqrt{9\textrm{,}82^2\cdot\frac{2\cdot 10}{9\textrm{,}82}}\\[5pt] &= \sqrt{9\textrm{,}82\cdot 2\cdot 10}\\[5pt] &= -\sqrt{196\textrm{,}4}\\[5pt] &\approx -14\textrm{,}0\,\textrm{} \end{align}

Das Minuszeichen zeigt an, dass der Ball sich abwärts bewegt. Die Geschwindigkeit des Balles ist also 14,0 m/s.

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