Lösung 2.1:2c - Online Mathematik Brückenkurs 2

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                      1. Differentialrechnung
                       
                        1.1 Einführung 
                        1.2 Ableitungsregeln 
                        1.3 Max/Min probleme
                      
                    
                      2. Integralrechnung
                       
                        2.1 Einführung 
                        2.2 Substitution 
                        2.3 Partielle Integration
                      
                    
                      3. Komplexe Zahlen
                       
                        3.1 Rechnungen 
                        3.2 Polarform 
                        3.3 Potenzen und Wurzeln 
                        3.4 Komplexe Polynome
                      
                    
                      Kurs als PDF
                                            
                    
                    
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+			Lösung 2.1:2c
			
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  + \int\limits_{4}^{9} \bigl(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\Bigr)\,dx
  + &= \int\limits_{4}^{9}\Bigl( x^{1/2}-\frac{1}{x^{1/2}}\Bigr)\,dx\\[5pt] 
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  + \end{align}</math>}}
  +  
  + Dies ist ein Standardintegral mit nur <math>x^n</math>-Terme wo <math>n=1/2</math> und <math>n=-1/2\,</math>, in den beiden Termen ist.
  +  
  + Wir erhalten das Integral
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  + &= \frac{32}{3}\,\textrm{.}
  + \end{align}</math>}}
Aktuelle Version
Wir erinnern uns daran, dass \displaystyle \sqrt{x} = x^{1/2} und erhalten





\displaystyle \begin{align}
\int\limits_{4}^{9} \bigl(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\Bigr)\,dx
&= \int\limits_{4}^{9}\Bigl( x^{1/2}-\frac{1}{x^{1/2}}\Bigr)\,dx\\[5pt] 
&= \int\limits_{4}^{9}\bigl(x^{1/2} - x^{-1/2}\bigr)\,dx\,\textrm{.} 
\end{align}



Dies ist ein Standardintegral mit nur \displaystyle x^n-Terme wo \displaystyle n=1/2 und \displaystyle n=-1/2\,, in den beiden Termen ist.
Wir erhalten das Integral





\displaystyle \begin{align}
\int\limits_{4}^{9} \bigl( x^{1/2}-x^{-1/2}\bigr)\,dx
&= \Bigl[\ \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} - \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1}\ \Bigr]_{4}^{9}\\[5pt] 
&= \Bigl[\ \frac{x^{1+1/2}}{3/2} - \frac{x^{1/2}}{1/2}\ \Bigr]_{4}^{9}\\[5pt] 
&= \Bigl[\ \frac{2}{3}x\sqrt{x} - 2\sqrt{x}\ \Bigr]_{4}^{9}\\[5pt] 
&= \frac{2}{3}\cdot 9\cdot\sqrt{9} - 2\sqrt{9} - \Bigl(\frac{2}{3}\cdot 4\cdot \sqrt{4}-2\sqrt{4} \Bigr)\\[5pt] 
&= \frac{2}{3}\cdot 9\cdot 3 - 2\cdot 3 - \Bigl( \frac{2}{3}\cdot 4\cdot 2 - 2\cdot 2 \Bigr)\\[5pt] 
&= 18-6-\frac{16}{3}+4\\[5pt]
&= 16-\frac{16}{3}\\[5pt] 
&= \frac{16\cdot 3-16}{3}\\[5pt]
&= \frac{32}{3}\,\textrm{.}
\end{align}




Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_2.1:2c“
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+Wir erinnern uns daran, dass <math>\sqrt{x} = x^{1/2}</math> und erhalten
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+{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
+\int\limits_{4}^{9} \bigl(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\Bigr)\,dx
+&= \int\limits_{4}^{9}\Bigl( x^{1/2}-\frac{1}{x^{1/2}}\Bigr)\,dx\\[5pt]
+&= \int\limits_{4}^{9}\bigl(x^{1/2} - x^{-1/2}\bigr)\,dx\,\textrm{.}
+\end{align}</math>}}
+Dies ist ein Standardintegral mit nur <math>x^n</math>-Terme wo <math>n=1/2</math> und <math>n=-1/2\,</math>, in den beiden Termen ist.
+Wir erhalten das Integral
+{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
+\int\limits_{4}^{9} \bigl( x^{1/2}-x^{-1/2}\bigr)\,dx
+&= \Bigl[\ \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} - \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1}\ \Bigr]_{4}^{9}\\[5pt]
+&= \Bigl[\ \frac{x^{1+1/2}}{3/2} - \frac{x^{1/2}}{1/2}\ \Bigr]_{4}^{9}\\[5pt]
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+&= \frac{16\cdot 3-16}{3}\\[5pt]
+&= \frac{32}{3}\,\textrm{.}
+\end{align}</math>}}
 \displaystyle \begin{align}
\int\limits_{4}^{9} \bigl(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\Bigr)\,dx
&= \int\limits_{4}^{9}\Bigl( x^{1/2}-\frac{1}{x^{1/2}}\Bigr)\,dx\\[5pt] 
&= \int\limits_{4}^{9}\bigl(x^{1/2} - x^{-1/2}\bigr)\,dx\,\textrm{.} 
\end{align}
 \displaystyle \begin{align}
\int\limits_{4}^{9} \bigl( x^{1/2}-x^{-1/2}\bigr)\,dx
&= \Bigl[\ \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} - \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1}\ \Bigr]_{4}^{9}\\[5pt] 
&= \Bigl[\ \frac{x^{1+1/2}}{3/2} - \frac{x^{1/2}}{1/2}\ \Bigr]_{4}^{9}\\[5pt] 
&= \Bigl[\ \frac{2}{3}x\sqrt{x} - 2\sqrt{x}\ \Bigr]_{4}^{9}\\[5pt] 
&= \frac{2}{3}\cdot 9\cdot\sqrt{9} - 2\sqrt{9} - \Bigl(\frac{2}{3}\cdot 4\cdot \sqrt{4}-2\sqrt{4} \Bigr)\\[5pt] 
&= \frac{2}{3}\cdot 9\cdot 3 - 2\cdot 3 - \Bigl( \frac{2}{3}\cdot 4\cdot 2 - 2\cdot 2 \Bigr)\\[5pt] 
&= 18-6-\frac{16}{3}+4\\[5pt]
&= 16-\frac{16}{3}\\[5pt] 
&= \frac{16\cdot 3-16}{3}\\[5pt]
&= \frac{32}{3}\,\textrm{.}
\end{align}