Lösung 2.1:2a

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Die Schwierigkeit in der Integralrechnung liegt darin, eine Stammfunktion zu finden. Danach müssen wir nur die Stammfunktion in den beiden Integrationzgrenzen evaluieren.
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\int\limits_{0}^{2} \bigl( x^2+3x^3\bigr)\,dx
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&= \frac{44}{3}\,\textrm{.}
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Hinweis: Wir können testen ob <math>F(x) = \tfrac{1}{3}x^3 + \tfrac{3}{4}x^4</math> eine Stammfunktion von dem Integrand ist, indem wir <math>F(x)</math> ableiten
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F'(x) &= \tfrac{1}{3}\bigl(x^3\bigr)' + \tfrac{3}{4}\bigl(x^4\bigr)'\\[5pt]
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&= \tfrac{1}{3}\cdot 3x^2 + \tfrac{3}{4}\cdot 4x^3\\[5pt]
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&= x^2+3x^3\,\textrm{.}
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\end{align}</math>}}

Aktuelle Version

Die Schwierigkeit in der Integralrechnung liegt darin, eine Stammfunktion zu finden. Danach müssen wir nur die Stammfunktion in den beiden Integrationzgrenzen evaluieren.

Da unser Integrand in der Form \displaystyle x^n ist, können wir die Regel

\displaystyle \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C

für jeden Term benutzen.

\displaystyle F(x) = \frac{x^{2+1}}{2+1} + 3\cdot \frac{x^{3+1}}{3+1}

Der Wert des Integrals ist daher

\displaystyle \begin{align}

\int\limits_{0}^{2} \bigl( x^2+3x^3\bigr)\,dx &= \Bigl[\ \frac{x^3}{3} + 3\cdot\frac{x^4}{4}\Bigr]_0^2\\ &= \frac{2^3}{3} + 3\cdot\frac{2^4}{4} - \Bigl(\frac{0^3}{3} + 3\cdot\frac{0^4}{4} \Bigr)\\[5pt] &= \frac{8}{3} + \frac{3\cdot 16}{4}\\[5pt] &= \frac{44}{3}\,\textrm{.} \end{align}


Hinweis: Wir können testen ob \displaystyle F(x) = \tfrac{1}{3}x^3 + \tfrac{3}{4}x^4 eine Stammfunktion von dem Integrand ist, indem wir \displaystyle F(x) ableiten

\displaystyle \begin{align}

F'(x) &= \tfrac{1}{3}\bigl(x^3\bigr)' + \tfrac{3}{4}\bigl(x^4\bigr)'\\[5pt] &= \tfrac{1}{3}\cdot 3x^2 + \tfrac{3}{4}\cdot 4x^3\\[5pt] &= x^2+3x^3\,\textrm{.} \end{align}

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