Lösung 3.2:6c - Online Mathematik Brückenkurs 2

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                      1. Differentialrechnung
                       
                        1.1 Einführung 
                        1.2 Ableitungsregeln 
                        1.3 Max/Min probleme
                      
                    
                      2. Integralrechnung
                       
                        2.1 Einführung 
                        2.2 Substitution 
                        2.3 Partielle Integration
                      
                    
                      3. Komplexe Zahlen
                       
                        3.1 Rechnungen 
                        3.2 Polarform 
                        3.3 Potenzen und Wurzeln 
                        3.4 Komplexe Polynome
                      
                    
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- We need to know the number's magnitude and argument, in order to be able to write down its polar form. + Wir brauchen nur den Betrag und das Argument um die Zahl auf Polarform zu bringen.
  
- We obtain the number's magnitude as its distance to the origin; it is obtained by the distance formula, + Den Betrag erhalten wir durch die Formel
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>|-4-4i| = \sqrt{(-4)^2+(-4)^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{16\cdot 2} = 4\sqrt{2}\,\textrm{.}</math>}}  {{Abgesetzte Formel||<math>|-4-4i| = \sqrt{(-4)^2+(-4)^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{16\cdot 2} = 4\sqrt{2}\,\textrm{.}</math>}}
  
- Furthermore, the number lies in the third quadrant (negative real and imaginary parts) and if we introduce an auxiliary triangle in that  quadrant, we can determine the angle that the number makes with the negative real axis. Then, we get the number's argument by adding the angle <math>\pi</math>. + Weiterhin liegt die Zahl in dritten Quadrant, und definieren wir ein Dreieck wie in der Figur, können wir zuerst den Winkel <math>\alpha</math> bestimmen. Addieren wir <math>\pi</math> zu diesem Winkel, erhalten wir das Argument.
  
 <center>[[Image:3_2_6_c1.gif]] [[Image:3_2_6_c2.gif]]</center>  <center>[[Image:3_2_6_c1.gif]] [[Image:3_2_6_c2.gif]]</center>
  
- The number's polar form is thus + Die Polarform der Zahl ist daher
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>4\sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4} \Bigr)\,\textrm{.}</math>}}  {{Abgesetzte Formel||<math>4\sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4} \Bigr)\,\textrm{.}</math>}}
Aktuelle Version
Wir brauchen nur den Betrag und das Argument um die Zahl auf Polarform zu bringen.
Den Betrag erhalten wir durch die Formel





\displaystyle |-4-4i| = \sqrt{(-4)^2+(-4)^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{16\cdot 2} = 4\sqrt{2}\,\textrm{.}


Weiterhin liegt die Zahl in dritten Quadrant, und definieren wir ein Dreieck wie in der Figur, können wir zuerst den Winkel \displaystyle \alpha bestimmen. Addieren wir \displaystyle \pi zu diesem Winkel, erhalten wir das Argument.

 
Die Polarform der Zahl ist daher





\displaystyle 4\sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4} \Bigr)\,\textrm{.}



Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_3.2:6c“
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                        1.1 Einführung 
                        1.2 Ableitungsregeln 
                        1.3 Max/Min probleme
                      
                    
                      2. Integralrechnung
                       
                        2.1 Einführung 
                        2.2 Substitution 
                        2.3 Partielle Integration
                      
                    
                      3. Komplexe Zahlen
                       
                        3.1 Rechnungen 
                        3.2 Polarform 
                        3.3 Potenzen und Wurzeln 
                        3.4 Komplexe Polynome
                      
                    
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- We need to know the number's magnitude and argument, in order to be able to write down its polar form. + Wir brauchen nur den Betrag und das Argument um die Zahl auf Polarform zu bringen.
  
- We obtain the number's magnitude as its distance to the origin; it is obtained by the distance formula, + Den Betrag erhalten wir durch die Formel
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>|-4-4i| = \sqrt{(-4)^2+(-4)^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{16\cdot 2} = 4\sqrt{2}\,\textrm{.}</math>}}  {{Abgesetzte Formel||<math>|-4-4i| = \sqrt{(-4)^2+(-4)^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{16\cdot 2} = 4\sqrt{2}\,\textrm{.}</math>}}
  
- Furthermore, the number lies in the third quadrant (negative real and imaginary parts) and if we introduce an auxiliary triangle in that  quadrant, we can determine the angle that the number makes with the negative real axis. Then, we get the number's argument by adding the angle <math>\pi</math>. + Weiterhin liegt die Zahl in dritten Quadrant, und definieren wir ein Dreieck wie in der Figur, können wir zuerst den Winkel <math>\alpha</math> bestimmen. Addieren wir <math>\pi</math> zu diesem Winkel, erhalten wir das Argument.
  
 <center>[[Image:3_2_6_c1.gif]] [[Image:3_2_6_c2.gif]]</center>  <center>[[Image:3_2_6_c1.gif]] [[Image:3_2_6_c2.gif]]</center>
  
- The number's polar form is thus + Die Polarform der Zahl ist daher
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>4\sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4} \Bigr)\,\textrm{.}</math>}}  {{Abgesetzte Formel||<math>4\sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4} \Bigr)\,\textrm{.}</math>}}
Aktuelle Version
Wir brauchen nur den Betrag und das Argument um die Zahl auf Polarform zu bringen.
Den Betrag erhalten wir durch die Formel





\displaystyle |-4-4i| = \sqrt{(-4)^2+(-4)^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{16\cdot 2} = 4\sqrt{2}\,\textrm{.}


Weiterhin liegt die Zahl in dritten Quadrant, und definieren wir ein Dreieck wie in der Figur, können wir zuerst den Winkel \displaystyle \alpha bestimmen. Addieren wir \displaystyle \pi zu diesem Winkel, erhalten wir das Argument.

 
Die Polarform der Zahl ist daher





\displaystyle 4\sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4} \Bigr)\,\textrm{.}



Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_3.2:6c“
-                      Willkommen zum Kurs
                       
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                        1.1 Einführung 
                        1.2 Ableitungsregeln 
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                        2.1 Einführung 
                        2.2 Substitution 
                        2.3 Partielle Integration
                      
                    
                      3. Komplexe Zahlen
                       
                        3.1 Rechnungen 
                        3.2 Polarform 
                        3.3 Potenzen und Wurzeln 
                        3.4 Komplexe Polynome
                      
                    
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- We need to know the number's magnitude and argument, in order to be able to write down its polar form. + Wir brauchen nur den Betrag und das Argument um die Zahl auf Polarform zu bringen.
  
- We obtain the number's magnitude as its distance to the origin; it is obtained by the distance formula, + Den Betrag erhalten wir durch die Formel
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>|-4-4i| = \sqrt{(-4)^2+(-4)^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{16\cdot 2} = 4\sqrt{2}\,\textrm{.}</math>}}  {{Abgesetzte Formel||<math>|-4-4i| = \sqrt{(-4)^2+(-4)^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{16\cdot 2} = 4\sqrt{2}\,\textrm{.}</math>}}
  
- Furthermore, the number lies in the third quadrant (negative real and imaginary parts) and if we introduce an auxiliary triangle in that  quadrant, we can determine the angle that the number makes with the negative real axis. Then, we get the number's argument by adding the angle <math>\pi</math>. + Weiterhin liegt die Zahl in dritten Quadrant, und definieren wir ein Dreieck wie in der Figur, können wir zuerst den Winkel <math>\alpha</math> bestimmen. Addieren wir <math>\pi</math> zu diesem Winkel, erhalten wir das Argument.
  
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- The number's polar form is thus + Die Polarform der Zahl ist daher
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>4\sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4} \Bigr)\,\textrm{.}</math>}}  {{Abgesetzte Formel||<math>4\sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4} \Bigr)\,\textrm{.}</math>}}
Aktuelle Version
Wir brauchen nur den Betrag und das Argument um die Zahl auf Polarform zu bringen.
Den Betrag erhalten wir durch die Formel





\displaystyle |-4-4i| = \sqrt{(-4)^2+(-4)^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{16\cdot 2} = 4\sqrt{2}\,\textrm{.}


Weiterhin liegt die Zahl in dritten Quadrant, und definieren wir ein Dreieck wie in der Figur, können wir zuerst den Winkel \displaystyle \alpha bestimmen. Addieren wir \displaystyle \pi zu diesem Winkel, erhalten wir das Argument.

 
Die Polarform der Zahl ist daher





\displaystyle 4\sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4} \Bigr)\,\textrm{.}



Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_3.2:6c“
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-We need to know the number's magnitude and argument, in order to be able to write down its polar form.
+Wir brauchen nur den Betrag und das Argument um die Zahl auf Polarform zu bringen.
-We obtain the number's magnitude as its distance to the origin; it is obtained by the distance formula,
+Den Betrag erhalten wir durch die Formel
 {{Abgesetzte Formel||<math>|-4-4i| = \sqrt{(-4)^2+(-4)^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{16\cdot 2} = 4\sqrt{2}\,\textrm{.}</math>}}
-Furthermore, the number lies in the third quadrant (negative real and imaginary parts) and if we introduce an auxiliary triangle in that  quadrant, we can determine the angle that the number makes with the negative real axis. Then, we get the number's argument by adding the angle <math>\pi</math>.
+Weiterhin liegt die Zahl in dritten Quadrant, und definieren wir ein Dreieck wie in der Figur, können wir zuerst den Winkel <math>\alpha</math> bestimmen. Addieren wir <math>\pi</math> zu diesem Winkel, erhalten wir das Argument.
 <center>[[Image:3_2_6_c1.gif]] [[Image:3_2_6_c2.gif]]</center>
-The number's polar form is thus
+Die Polarform der Zahl ist daher
 {{Abgesetzte Formel||<math>4\sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4} \Bigr)\,\textrm{.}</math>}}
 \displaystyle |-4-4i| = \sqrt{(-4)^2+(-4)^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{16\cdot 2} = 4\sqrt{2}\,\textrm{.}
 \displaystyle 4\sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4} \Bigr)\,\textrm{.}