Lösung 3.1:4b - Online Mathematik Brückenkurs 2

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                      1. Differentialrechnung
                       
                        1.1 Einführung 
                        1.2 Ableitungsregeln 
                        1.3 Max/Min probleme
                      
                    
                      2. Integralrechnung
                       
                        2.1 Einführung 
                        2.2 Substitution 
                        2.3 Partielle Integration
                      
                    
                      3. Komplexe Zahlen
                       
                        3.1 Rechnungen 
                        3.2 Polarform 
                        3.3 Potenzen und Wurzeln 
                        3.4 Komplexe Polynome
                      
                    
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- If we divide both sides by <math>2-i</math>, we obtain <math>z</math> by itself on the left-hand side, + Wenn wir beide Seiten durch <math>2-i</math> dividieren, erhalten wir  <math>z</math> auf der linken Seite,
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>z=\frac{3+2i}{2-i}\,\textrm{.}</math>}}  {{Abgesetzte Formel||<math>z=\frac{3+2i}{2-i}\,\textrm{.}</math>}}
  
- It remains to calculate the quotient on the right-hand side. We multiply top and bottom by the complex conjugate of the denominator, + Also müssen wir den Bruch auf der linken Seite berechnen. Wir erweitern den Bruch mit dem konjugiert komplexen Nenner,
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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 \end{align}</math>}}  \end{align}</math>}}
  
- Also, we substitute <math>z=\tfrac{4}{5}+\tfrac{7}{5}i</math> into the original equation to assure ourselves that we have calculated correctly, + Wir substituieren  <math>z=\tfrac{4}{5}+\tfrac{7}{5}i</math> in der Ursprünglichen Gleichung, um zu kontrollieren, ob wir richtig gerechnet haben,
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
- \text{LHS} + \text{Linke Seite}
 &= (2-i)z\\[5pt]  &= (2-i)z\\[5pt]
 &= (2-i)\Bigl(\frac{4}{5}+\frac{7}{5}\,i\bigr)\\[5pt]  &= (2-i)\Bigl(\frac{4}{5}+\frac{7}{5}\,i\bigr)\\[5pt]
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 &= \frac{15}{5} + \frac{10}{5}\,i\\[5pt]  &= \frac{15}{5} + \frac{10}{5}\,i\\[5pt]
 &= 3+2i\\[5pt]  &= 3+2i\\[5pt]
- &= \text{RHS.}\end{align}</math>}} + &= \text{Rechte Seite.}\end{align}</math>}}
Aktuelle Version
Wenn wir beide Seiten durch \displaystyle 2-i dividieren, erhalten wir  \displaystyle z auf der linken Seite,





\displaystyle z=\frac{3+2i}{2-i}\,\textrm{.}


Also müssen wir den Bruch auf der linken Seite berechnen. Wir erweitern den Bruch mit dem konjugiert komplexen Nenner,





\displaystyle \begin{align}
z &= \frac{(3+2i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}\\[5pt]
&= \frac{3\cdot 2+3\cdot i +2i\cdot 2+2i\cdot i}{2^2-i^2}\\[5pt]
&= \frac{6+3i+4i-2}{4+1}\\[5pt]
&= \frac{4+7i}{5}\\[5pt]
&= \frac{4}{5}+\frac{7}{5}\,i\,\textrm{.}
\end{align}



Wir substituieren  \displaystyle z=\tfrac{4}{5}+\tfrac{7}{5}i in der Ursprünglichen Gleichung, um zu kontrollieren, ob wir richtig gerechnet haben,





\displaystyle \begin{align}
\text{Linke Seite}
&= (2-i)z\\[5pt]
&= (2-i)\Bigl(\frac{4}{5}+\frac{7}{5}\,i\bigr)\\[5pt]
&= 2\cdot\frac{4}{5} + 2\cdot\frac{7}{5}\,i - i\cdot\frac{4}{5} - i\cdot\frac{7}{5}\,i\\[5pt]
&= \frac{8}{5} + \frac{14}{5}\,i - \frac{4}{5}\,i + \frac{7}{5}\\[5pt]
&= \frac{8+7}{5} + \frac{14-4}{5}\,i\\[5pt]
&= \frac{15}{5} + \frac{10}{5}\,i\\[5pt]
&= 3+2i\\[5pt]
&= \text{Rechte Seite.}\end{align}




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                        1.1 Einführung 
                        1.2 Ableitungsregeln 
                        1.3 Max/Min probleme
                      
                    
                      2. Integralrechnung
                       
                        2.1 Einführung 
                        2.2 Substitution 
                        2.3 Partielle Integration
                      
                    
                      3. Komplexe Zahlen
                       
                        3.1 Rechnungen 
                        3.2 Polarform 
                        3.3 Potenzen und Wurzeln 
                        3.4 Komplexe Polynome
                      
                    
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- If we divide both sides by <math>2-i</math>, we obtain <math>z</math> by itself on the left-hand side, + Wenn wir beide Seiten durch <math>2-i</math> dividieren, erhalten wir  <math>z</math> auf der linken Seite,
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>z=\frac{3+2i}{2-i}\,\textrm{.}</math>}}  {{Abgesetzte Formel||<math>z=\frac{3+2i}{2-i}\,\textrm{.}</math>}}
  
- It remains to calculate the quotient on the right-hand side. We multiply top and bottom by the complex conjugate of the denominator, + Also müssen wir den Bruch auf der linken Seite berechnen. Wir erweitern den Bruch mit dem konjugiert komplexen Nenner,
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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 \end{align}</math>}}  \end{align}</math>}}
  
- Also, we substitute <math>z=\tfrac{4}{5}+\tfrac{7}{5}i</math> into the original equation to assure ourselves that we have calculated correctly, + Wir substituieren  <math>z=\tfrac{4}{5}+\tfrac{7}{5}i</math> in der Ursprünglichen Gleichung, um zu kontrollieren, ob wir richtig gerechnet haben,
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
- \text{LHS} + \text{Linke Seite}
 &= (2-i)z\\[5pt]  &= (2-i)z\\[5pt]
 &= (2-i)\Bigl(\frac{4}{5}+\frac{7}{5}\,i\bigr)\\[5pt]  &= (2-i)\Bigl(\frac{4}{5}+\frac{7}{5}\,i\bigr)\\[5pt]
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 &= \frac{15}{5} + \frac{10}{5}\,i\\[5pt]  &= \frac{15}{5} + \frac{10}{5}\,i\\[5pt]
 &= 3+2i\\[5pt]  &= 3+2i\\[5pt]
- &= \text{RHS.}\end{align}</math>}} + &= \text{Rechte Seite.}\end{align}</math>}}
Aktuelle Version
Wenn wir beide Seiten durch \displaystyle 2-i dividieren, erhalten wir  \displaystyle z auf der linken Seite,





\displaystyle z=\frac{3+2i}{2-i}\,\textrm{.}


Also müssen wir den Bruch auf der linken Seite berechnen. Wir erweitern den Bruch mit dem konjugiert komplexen Nenner,





\displaystyle \begin{align}
z &= \frac{(3+2i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}\\[5pt]
&= \frac{3\cdot 2+3\cdot i +2i\cdot 2+2i\cdot i}{2^2-i^2}\\[5pt]
&= \frac{6+3i+4i-2}{4+1}\\[5pt]
&= \frac{4+7i}{5}\\[5pt]
&= \frac{4}{5}+\frac{7}{5}\,i\,\textrm{.}
\end{align}



Wir substituieren  \displaystyle z=\tfrac{4}{5}+\tfrac{7}{5}i in der Ursprünglichen Gleichung, um zu kontrollieren, ob wir richtig gerechnet haben,





\displaystyle \begin{align}
\text{Linke Seite}
&= (2-i)z\\[5pt]
&= (2-i)\Bigl(\frac{4}{5}+\frac{7}{5}\,i\bigr)\\[5pt]
&= 2\cdot\frac{4}{5} + 2\cdot\frac{7}{5}\,i - i\cdot\frac{4}{5} - i\cdot\frac{7}{5}\,i\\[5pt]
&= \frac{8}{5} + \frac{14}{5}\,i - \frac{4}{5}\,i + \frac{7}{5}\\[5pt]
&= \frac{8+7}{5} + \frac{14-4}{5}\,i\\[5pt]
&= \frac{15}{5} + \frac{10}{5}\,i\\[5pt]
&= 3+2i\\[5pt]
&= \text{Rechte Seite.}\end{align}




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                        1.1 Einführung 
                        1.2 Ableitungsregeln 
                        1.3 Max/Min probleme
                      
                    
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                        2.1 Einführung 
                        2.2 Substitution 
                        2.3 Partielle Integration
                      
                    
                      3. Komplexe Zahlen
                       
                        3.1 Rechnungen 
                        3.2 Polarform 
                        3.3 Potenzen und Wurzeln 
                        3.4 Komplexe Polynome
                      
                    
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- If we divide both sides by <math>2-i</math>, we obtain <math>z</math> by itself on the left-hand side, + Wenn wir beide Seiten durch <math>2-i</math> dividieren, erhalten wir  <math>z</math> auf der linken Seite,
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>z=\frac{3+2i}{2-i}\,\textrm{.}</math>}}  {{Abgesetzte Formel||<math>z=\frac{3+2i}{2-i}\,\textrm{.}</math>}}
  
- It remains to calculate the quotient on the right-hand side. We multiply top and bottom by the complex conjugate of the denominator, + Also müssen wir den Bruch auf der linken Seite berechnen. Wir erweitern den Bruch mit dem konjugiert komplexen Nenner,
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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 \end{align}</math>}}  \end{align}</math>}}
  
- Also, we substitute <math>z=\tfrac{4}{5}+\tfrac{7}{5}i</math> into the original equation to assure ourselves that we have calculated correctly, + Wir substituieren  <math>z=\tfrac{4}{5}+\tfrac{7}{5}i</math> in der Ursprünglichen Gleichung, um zu kontrollieren, ob wir richtig gerechnet haben,
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
- \text{LHS} + \text{Linke Seite}
 &= (2-i)z\\[5pt]  &= (2-i)z\\[5pt]
 &= (2-i)\Bigl(\frac{4}{5}+\frac{7}{5}\,i\bigr)\\[5pt]  &= (2-i)\Bigl(\frac{4}{5}+\frac{7}{5}\,i\bigr)\\[5pt]
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 &= \frac{15}{5} + \frac{10}{5}\,i\\[5pt]  &= \frac{15}{5} + \frac{10}{5}\,i\\[5pt]
 &= 3+2i\\[5pt]  &= 3+2i\\[5pt]
- &= \text{RHS.}\end{align}</math>}} + &= \text{Rechte Seite.}\end{align}</math>}}
Aktuelle Version
Wenn wir beide Seiten durch \displaystyle 2-i dividieren, erhalten wir  \displaystyle z auf der linken Seite,





\displaystyle z=\frac{3+2i}{2-i}\,\textrm{.}


Also müssen wir den Bruch auf der linken Seite berechnen. Wir erweitern den Bruch mit dem konjugiert komplexen Nenner,





\displaystyle \begin{align}
z &= \frac{(3+2i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}\\[5pt]
&= \frac{3\cdot 2+3\cdot i +2i\cdot 2+2i\cdot i}{2^2-i^2}\\[5pt]
&= \frac{6+3i+4i-2}{4+1}\\[5pt]
&= \frac{4+7i}{5}\\[5pt]
&= \frac{4}{5}+\frac{7}{5}\,i\,\textrm{.}
\end{align}



Wir substituieren  \displaystyle z=\tfrac{4}{5}+\tfrac{7}{5}i in der Ursprünglichen Gleichung, um zu kontrollieren, ob wir richtig gerechnet haben,





\displaystyle \begin{align}
\text{Linke Seite}
&= (2-i)z\\[5pt]
&= (2-i)\Bigl(\frac{4}{5}+\frac{7}{5}\,i\bigr)\\[5pt]
&= 2\cdot\frac{4}{5} + 2\cdot\frac{7}{5}\,i - i\cdot\frac{4}{5} - i\cdot\frac{7}{5}\,i\\[5pt]
&= \frac{8}{5} + \frac{14}{5}\,i - \frac{4}{5}\,i + \frac{7}{5}\\[5pt]
&= \frac{8+7}{5} + \frac{14-4}{5}\,i\\[5pt]
&= \frac{15}{5} + \frac{10}{5}\,i\\[5pt]
&= 3+2i\\[5pt]
&= \text{Rechte Seite.}\end{align}




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-If we divide both sides by <math>2-i</math>, we obtain <math>z</math> by itself on the left-hand side,
+Wenn wir beide Seiten durch <math>2-i</math> dividieren, erhalten wir  <math>z</math> auf der linken Seite,
 {{Abgesetzte Formel||<math>z=\frac{3+2i}{2-i}\,\textrm{.}</math>}}
-It remains to calculate the quotient on the right-hand side. We multiply top and bottom by the complex conjugate of the denominator,
+Also müssen wir den Bruch auf der linken Seite berechnen. Wir erweitern den Bruch mit dem konjugiert komplexen Nenner,
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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 \end{align}</math>}}
-Also, we substitute <math>z=\tfrac{4}{5}+\tfrac{7}{5}i</math> into the original equation to assure ourselves that we have calculated correctly,
+Wir substituieren  <math>z=\tfrac{4}{5}+\tfrac{7}{5}i</math> in der Ursprünglichen Gleichung, um zu kontrollieren, ob wir richtig gerechnet haben,
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-\text{LHS}
+\text{Linke Seite}
 &= (2-i)z\\[5pt]
 &= (2-i)\Bigl(\frac{4}{5}+\frac{7}{5}\,i\bigr)\\[5pt]
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 &= \frac{15}{5} + \frac{10}{5}\,i\\[5pt]
 &= 3+2i\\[5pt]
-&= \text{RHS.}\end{align}</math>}}
+&= \text{Rechte Seite.}\end{align}</math>}}
 \displaystyle z=\frac{3+2i}{2-i}\,\textrm{.}
 \displaystyle \begin{align}
z &= \frac{(3+2i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}\\[5pt]
&= \frac{3\cdot 2+3\cdot i +2i\cdot 2+2i\cdot i}{2^2-i^2}\\[5pt]
&= \frac{6+3i+4i-2}{4+1}\\[5pt]
&= \frac{4+7i}{5}\\[5pt]
&= \frac{4}{5}+\frac{7}{5}\,i\,\textrm{.}
\end{align}
 \displaystyle \begin{align}
\text{Linke Seite}
&= (2-i)z\\[5pt]
&= (2-i)\Bigl(\frac{4}{5}+\frac{7}{5}\,i\bigr)\\[5pt]
&= 2\cdot\frac{4}{5} + 2\cdot\frac{7}{5}\,i - i\cdot\frac{4}{5} - i\cdot\frac{7}{5}\,i\\[5pt]
&= \frac{8}{5} + \frac{14}{5}\,i - \frac{4}{5}\,i + \frac{7}{5}\\[5pt]
&= \frac{8+7}{5} + \frac{14-4}{5}\,i\\[5pt]
&= \frac{15}{5} + \frac{10}{5}\,i\\[5pt]
&= 3+2i\\[5pt]
&= \text{Rechte Seite.}\end{align}