Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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-	We shall solve the exercise in two different ways.	+	Wir werden das Problem mit zwei verschiedenen Methoden lösen.
-	'''Method 1''' (integration by parts)	+	'''Methode 1''' (partielle Integration)
-	At first sight, integration by parts seems impossible, but the trick is to see the integrand as the product	+	Beim ersten Anblick scheint es unmöglich partielle Integration anzuwenden. Der Trick ist, dass wir den Integrand als das Produkt
-	{{Abgesetzte Formel||<math>1\centerdot \ln x\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>1\cdot \ln x</math>}}
-	We integrate the factor <math>1</math> and differentiate <math>\ln x</math>,	+	betrachten, <math>1</math> integrieren und <math>\ln x</math> ableiten.
	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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	&= x\cdot\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx\\[5pt]		&= x\cdot\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx\\[5pt]
	&= x\cdot\ln x - \int 1\,dx\\[5pt]		&= x\cdot\ln x - \int 1\,dx\\[5pt]
-	&= x\cdot\ln x - x + C\,\textrm{.}	+	&= x\cdot\ln x - x + C
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}
-	'''Method 2''' (substitution)	+	'''Methode 2''' (Substitution und partielle Integration)
-	It seems difficult to find some suitable expression to substitute, so we try to substitute the whole expression <math>u=\ln x\,</math>. The problem we encounter is how we should handle the change from <math>dx</math> to <math>du</math>. With this substitution, the relation between <math>dx</math> and <math>du</math> becomes	+	Wir substituieren <math>u=\ln x\,</math>. So erhalten wir das Verhältnis
	{{Abgesetzte Formel||<math>du = (\ln x)'\,dx = \frac{1}{x}\,dx</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>du = (\ln x)'\,dx = \frac{1}{x}\,dx</math>}}
-	and because <math>u = \ln x</math>, then <math>x=e^u</math> and we have that	+	und da <math>u = \ln x</math>, ist <math>x=e^u</math> und dadurch erhalten wir
	{{Abgesetzte Formel||<math>du = \frac{1}{e^u}\,dx\quad\Leftrightarrow\quad dx = e^u\,du\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>du = \frac{1}{e^u}\,dx\quad\Leftrightarrow\quad dx = e^u\,du\,\textrm{.}</math>}}
-	Thus, the substitution becomes	+	Also haben wir
	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}
-	Now, we carry out an integration by parts,	+	Dieses Integral berechnen wir durch partielle Integration
	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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	&= ue^u - \int e^u\,du\\[5pt]		&= ue^u - \int e^u\,du\\[5pt]
	&= ue^u - e^u + C\\[5pt]		&= ue^u - e^u + C\\[5pt]
-	&= (u-1)e^u + C\,,	+	&= (u-1)e^u + C
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}
-	and the answer becomes	+	und wir erhalten
	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}

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Aktuelle Version

Wir werden das Problem mit zwei verschiedenen Methoden lösen.

Methode 1 (partielle Integration)

Beim ersten Anblick scheint es unmöglich partielle Integration anzuwenden. Der Trick ist, dass wir den Integrand als das Produkt

\displaystyle 1\cdot \ln x

betrachten, \displaystyle 1 integrieren und \displaystyle \ln x ableiten.

\displaystyle \begin{align} \int 1\cdot\ln x\,dx &= x\cdot\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx\\[5pt] &= x\cdot\ln x - \int 1\,dx\\[5pt] &= x\cdot\ln x - x + C \end{align}

Methode 2 (Substitution und partielle Integration)

Wir substituieren \displaystyle u=\ln x\,. So erhalten wir das Verhältnis

\displaystyle du = (\ln x)'\,dx = \frac{1}{x}\,dx

und da \displaystyle u = \ln x, ist \displaystyle x=e^u und dadurch erhalten wir

\displaystyle du = \frac{1}{e^u}\,dx\quad\Leftrightarrow\quad dx = e^u\,du\,\textrm{.}

Also haben wir

\displaystyle \begin{align} \int \ln x\,dx = \left\{\begin{align} u &= \ln x\\[5pt] dx &= e^u\,du \end{align}\right\} = \int ue^u\,du\,\textrm{.} \end{align}

Dieses Integral berechnen wir durch partielle Integration

\displaystyle \begin{align} \int u\cdot e^u\,du &= u\cdot e^u - \int 1\cdot e^u\,du\\[5pt] &= ue^u - \int e^u\,du\\[5pt] &= ue^u - e^u + C\\[5pt] &= (u-1)e^u + C \end{align}

und wir erhalten

\displaystyle \begin{align} \int \ln x\,dx &= (\ln x-1)e^{\ln x} + C\\[5pt] &= (\ln x-1)x + C\,\textrm{.} \end{align}