Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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-	The secret behind a successful substitution is to be able to recognize the integral as an expression of the type	+	Die Ableitung von <math>x^2</math> ist <math>\bigl(x^2\bigr)'=2x</math>. Daher substituieren wir <math>u=x^2</math>.
-	{{Abgesetzte Formel||<math>\int \left( \begin{matrix}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>\int u'\sin u\,dx</math>}}
-	\text{an expression}\\	+
-	\text{in u}	+
-	\end{matrix}\right)\cdot u'\,dx\,,</math>}}	+
-	where <math>u=u(x)</math> is the actual substitution. In the integral	+	Wir erhalten
-		+
-	{{Abgesetzte Formel||<math>\int 2x\sin x^2\,dx</math>}}	+
-		+
-	we see that the expression <math>x^2</math> is the argument for the sine function, as the same time as its derivative <math>\bigl(x^2\bigr)'=2x</math> stands as a factor in front of sine. Therefore, if we set <math>u=x^2</math>, the integral, the integral will be of the form	+
-		+
-	{{Abgesetzte Formel||<math>\int u'\sin u\,dx\,\textrm{.}</math>}}	+
-		+
-	Thus, we can use <math>u=x^2</math> for the substitution,	+
	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}

---

Aktuelle Version

Die Ableitung von \displaystyle x^2 ist \displaystyle \bigl(x^2\bigr)'=2x. Daher substituieren wir \displaystyle u=x^2.

\displaystyle \int u'\sin u\,dx

Wir erhalten

\displaystyle \begin{align} \int 2x\sin x^2\,dx &=\left\{\begin{align} u &= x^2\\[5pt] du &= 2x\,dx \end{align}\right\} = \int{\sin u\,du}\\[5pt] &= -\cos u+C = -\cos x^2 + C\,\textrm{.} \end{align}