Lösung 1.3:6

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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K (Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel))
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K (Robot: Automated text replacement (-ä +ä))
 
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If we call the radius of the metal can ''r'' and its height ''h'', then we can determine the can's volume and area by using the figures below,
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Wir benennen den Radius der Tasse ''r'' und die Höhe ''h''. Das Volumen ist
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\text{Volume} &= \text{(area of the base)}\cdot\text{(height)}\\[5pt]
+
\text{Volume} &= \text{(Fläche der Basis)}\cdot\text{(Höhe)}\\[5pt]
&= \pi r^2\cdot h\,,\\[10pt]
&= \pi r^2\cdot h\,,\\[10pt]
-
\text{Area} &= \text{(area of the base)} + \text{(area of the cylindrical surface)}\\[5pt]
+
\text{Fläche} &= \text{(Fläche der Basis)} + \text{(Fläche des Zylinders)}\\[5pt]
&= \pi r^2 + 2\pi rh\,\textrm{.}
&= \pi r^2 + 2\pi rh\,\textrm{.}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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[[Image:1_3_6_1.gif|center]]
[[Image:1_3_6_1.gif|center]]
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The problem can then be formulated as: minimise the can's area, <math>A = \pi r^2 + 2\pi h</math>, whilst at the same time keeping the volume, <math>V = \pi r^2h\,</math>, constant.
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Das Problem ist also: Minimiere die Fläche <math>A = \pi r^2 + 2\pi h</math>, während das Volumen <math>V = \pi r^2h\,</math> konstant ist.
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From the formula for the volume, we can make ''h'' the subject,
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Wir schreiben ''h'' als Funktion des Volumens
{{Abgesetzte Formel||<math>h=\frac{V}{\pi r^2}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>h=\frac{V}{\pi r^2}</math>}}
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and express the area solely in terms of the radius, ''r'',
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und können dadurch die Fläche als Funktion von ''r'' schreiben.
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{{Abgesetzte Formel||<math>A = \pi r^2 + 2\pi r\cdot\frac{V}{\pi r^2} = \pi r^2 + \frac{2V}{r}\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>A = \pi r^2 + 2\pi r\cdot\frac{V}{\pi r^2} = \pi r^2 + \frac{2V}{r}\,\textrm{}</math>}}
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The minimisation problem is then:
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Unsere Aufgabe lautet dann: Minimiere die Fläche <math>A(r) = \pi r^2 + \frac{2V}{r}</math>, wenn <math>r>0\,</math>.
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::Minimise the area <math>A(r) = \pi r^2 + \frac{2V}{r}</math>, when <math>r>0\,</math>.
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Die Funktion <math>A(r)</math> ist für alle <math>r>0</math> differenzierbar und der Bereich <math>r>0</math> hat keine Endpunkte (da <math>r=0</math> nicht <math>r>0</math> erfüllt), also erscheinen Extremstellen nur in stationären Stellen.
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The area function <math>A(r)</math> is differentiable for all <math>r>0</math> and the region of definition <math>r>0</math> has no endpoints (<math>r=0</math> does not satisfy <math>r>0</math>), so the function can only assume extreme values at critical points.
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Die Ableitung ist
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The derivative is given by
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{{Abgesetzte Formel||<math>A'(r) = 2\pi r - \frac{2V}{r^2}\,.</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>A'(r) = 2\pi r - \frac{2V}{r^2}\,,</math>}}
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Die Nullstellen der Ableitung ergeben sich aus folgender Gleichung
-
 
+
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and if we set the derivative equal to zero, so as to obtain the critical points, we get
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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For this value of ''r'', the second derivative,
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Die zweite Ableitung ist
 +
 
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>A''(r) = 2\pi + \frac{4V}{r^3}\,</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>A''(r) = 2\pi + \frac{4V}{r^3}\,,</math>}}
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und hat den Wert
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has the value
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{{Abgesetzte Formel||<math>A''\bigl(\sqrt[3]{V/\pi}\bigr) = 2\pi + \frac{4V}{V/\pi } = 6\pi > 0\,</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>A''\bigl(\sqrt[3]{V/\pi}\bigr) = 2\pi + \frac{4V}{V/\pi } = 6\pi > 0\,,</math>}}
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an der stationären Stelle.
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which shows that <math>r=\sqrt[3]{V/\pi}</math> is a local minimum.
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Also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi} </math> lokale Minimalstelle.
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Because the region of definition, <math>r>0</math>, is open (the endpoint
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Da wir kein begrenztes Intervall haben, können wir nicht direkt ausschließen, dass die Fläche kleiner wird, wenn <math>r\to 0</math> oder wenn <math>r\to \infty </math>. Hier wächst die Fläche aber unbegrenzt in beiden Fällen <math>r\to 0</math> und <math>r\to \infty </math>, also ist <math> r=\sqrt[3]{V/\pi} </math> eine globale Minimalstelle.
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<math>r=0\text{ }</math> is not included) and unlimited, we cannot directly say that the area is least when <math>r = \sqrt[3]{V/\pi}\,</math>; it could be the case that area becomes smaller when <math>r\to 0</math> or <math>r\to \infty </math>. In this case, however, the area increases without bound as
+
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<math>r\to 0</math> or <math>r\to \infty </math>, so <math>r=\sqrt[3]{V/\pi}</math>
+
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really is a global minimum.
+
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The metal can has the least area for a given volume <math>V</math> when
+
Also ist die Fläche minimal, wenn
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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r &= \sqrt[3]{V/\pi}\,,\quad\text{and}\\[5pt]
+
r &= \sqrt[3]{V/\pi}\,,\quad\text{und}\\[5pt]
h &= \frac{V}{\pi r^{2}} = \frac{V}{\pi}\Bigl(\frac{V}{\pi}\Bigr)^{-2/3} = \Bigl( \frac{V}{\pi}\Bigr)^{1-2/3} = \Bigl(\frac{V}{\pi}\Bigr)^{1/3} = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}\,\textrm{.}
h &= \frac{V}{\pi r^{2}} = \frac{V}{\pi}\Bigl(\frac{V}{\pi}\Bigr)^{-2/3} = \Bigl( \frac{V}{\pi}\Bigr)^{1-2/3} = \Bigl(\frac{V}{\pi}\Bigr)^{1/3} = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}\,\textrm{.}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}

Aktuelle Version

Wir benennen den Radius der Tasse r und die Höhe h. Das Volumen ist

\displaystyle \begin{align}

\text{Volume} &= \text{(Fläche der Basis)}\cdot\text{(Höhe)}\\[5pt] &= \pi r^2\cdot h\,,\\[10pt] \text{Fläche} &= \text{(Fläche der Basis)} + \text{(Fläche des Zylinders)}\\[5pt] &= \pi r^2 + 2\pi rh\,\textrm{.} \end{align}

Das Problem ist also: Minimiere die Fläche \displaystyle A = \pi r^2 + 2\pi h, während das Volumen \displaystyle V = \pi r^2h\, konstant ist.

Wir schreiben h als Funktion des Volumens

\displaystyle h=\frac{V}{\pi r^2}

und können dadurch die Fläche als Funktion von r schreiben.

\displaystyle A = \pi r^2 + 2\pi r\cdot\frac{V}{\pi r^2} = \pi r^2 + \frac{2V}{r}\,\textrm{}

Unsere Aufgabe lautet dann: Minimiere die Fläche \displaystyle A(r) = \pi r^2 + \frac{2V}{r}, wenn \displaystyle r>0\,.

Die Funktion \displaystyle A(r) ist für alle \displaystyle r>0 differenzierbar und der Bereich \displaystyle r>0 hat keine Endpunkte (da \displaystyle r=0 nicht \displaystyle r>0 erfüllt), also erscheinen Extremstellen nur in stationären Stellen.

Die Ableitung ist

\displaystyle A'(r) = 2\pi r - \frac{2V}{r^2}\,.

Die Nullstellen der Ableitung ergeben sich aus folgender Gleichung

\displaystyle \begin{align}

& 2\pi r - \frac{2V}{r^2} = 0\quad \Leftrightarrow \quad 2\pi r = \frac{2V}{r^2}\\[5pt] &\quad\Leftrightarrow \quad r^3=\frac{V}{\pi}\quad \Leftrightarrow \quad r=\sqrt[\scriptstyle 3]{\frac{V}{\pi}}\,\textrm{.} \end{align}

Die zweite Ableitung ist

\displaystyle A''(r) = 2\pi + \frac{4V}{r^3}\,

und hat den Wert

\displaystyle A''\bigl(\sqrt[3]{V/\pi}\bigr) = 2\pi + \frac{4V}{V/\pi } = 6\pi > 0\,

an der stationären Stelle.

Also ist \displaystyle r=\sqrt[3]{V/\pi} lokale Minimalstelle.

Da wir kein begrenztes Intervall haben, können wir nicht direkt ausschließen, dass die Fläche kleiner wird, wenn \displaystyle r\to 0 oder wenn \displaystyle r\to \infty . Hier wächst die Fläche aber unbegrenzt in beiden Fällen \displaystyle r\to 0 und \displaystyle r\to \infty , also ist \displaystyle r=\sqrt[3]{V/\pi} eine globale Minimalstelle.

Also ist die Fläche minimal, wenn

\displaystyle \begin{align}

r &= \sqrt[3]{V/\pi}\,,\quad\text{und}\\[5pt] h &= \frac{V}{\pi r^{2}} = \frac{V}{\pi}\Bigl(\frac{V}{\pi}\Bigr)^{-2/3} = \Bigl( \frac{V}{\pi}\Bigr)^{1-2/3} = \Bigl(\frac{V}{\pi}\Bigr)^{1/3} = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}\,\textrm{.} \end{align}

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