Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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-	As always, a function can only have local extreme points at one of the following types of points,	+	Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:
-	# critical points, i.e. where <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,	+	# stationäre Punkte mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
-	# points where the function is not differentiable, and	+	# singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
-	# endpoints of the interval of definition.	+	# Endpunkte.
-	We investigate these three cases.	+	Wir untersuchen die einzelnen Fälle.
	<ol>		<ol>
-	<li>We obtain the critical points by setting the derivative equal to zero,	+	<li>Wir erhalten die stationären Punkte, indem wir die Nullstellen der Ableitung bestimmen.
	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
	f^{\,\prime}(x) &= (x^2-x-1)'e^x + (x^2-x-1)\bigl(e^x\bigr)^{\prime}\\[5pt]		f^{\,\prime}(x) &= (x^2-x-1)'e^x + (x^2-x-1)\bigl(e^x\bigr)^{\prime}\\[5pt]
	&= (2x-1)e^x + (x^2-x-1)e^x\\[5pt]		&= (2x-1)e^x + (x^2-x-1)e^x\\[5pt]
-	&= (x^2+x-2)e^x\,\textrm{.}	+	&= (x^2+x-2)e^x\,\textrm{}
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}
-	This expression for the derivative can only be zero when <math>x^2+x-2=0</math>, because <math>e^x</math> differs from zero for all values of <math>x</math>. We solve the second-degree equation by completing the square,	+	Die Ableitung ist null, wenn <math>x^2+x-2=0</math> null ist, da <math>e^x</math> immer größer als null ist. Wir lösen die quadratische Gleichung durch quadratische Ergänzung.
	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-	\Bigl(x+\frac{1}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^2 - 2 &= 0\,,\\[5pt]	+	\Bigl(x+\frac{1}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^2 - 2 &= 0\,\\[5pt]
-	\Bigl(x+\frac{1}{2}\Bigr)^2 &= \frac{9}{4}\,,\\[5pt]	+	\Bigl(x+\frac{1}{2}\Bigr)^2 &= \frac{9}{4}\,\\[5pt]
-	x+\frac{1}{2} &= \pm\frac{3}{2}\,,	+	x+\frac{1}{2} &= \pm\frac{3}{2}\,
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}
-	i.e. <math>x=-\tfrac{1}{2}-\tfrac{3}{2}=-2</math> and <math>x=-\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}=1</math>. Both of these points lie within the region of definition, <math>-3\le x\le 3\,</math>.</li>	+	Also ist <math>x=-\tfrac{1}{2}-\tfrac{3}{2}=-2</math> und <math>x=-\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}=1</math>. Beide Punkte liegen im Intervall <math>-3\le x\le 3\,</math>.</li>
-	<li>The function is a polynomial <math>x^2-x-1</math> multiplied by the exponential function <math>e^x</math>, and, because both of these functions are differentiable, the product is also a differentiable function, which shows that the function is differentiable everywhere.</li>	+	<li>Die Funktion besteht aus einem Polynom <math>x^2-x-1</math> multipliziert mit einer Exponentialfunktion <math>e^x</math>. Da beide Funktionen differenzierbar sind, ist auch unsere Funktion überall differenzierbar.</li>
-	<li>The function's region of definition is <math>-3\le x\le 3</math> and the endpoints <math>x=-3</math> and <math>x=3</math> are therefore possible local extreme points.</li>	+	<li>Wir müssen nun die Endpunkte als mögliche lokale Extrempunkte betrachten.</li>
	</ol>		</ol>
-	All in all, there are four points <math>x=-3</math>, <math>x=-2</math>, <math>x=1</math> and <math>x=3</math> where the function possibly has local extreme points.	+	Insgesamt kann die Funktion also in den Punkten <math>x=-3</math>, <math>x=-2</math>, <math>x=1</math> und <math>x=3</math> einen lokalen Extrempunkt haben.
-	Now, we will write down a table of the sign of the derivative, in order to investigate if the function has local extreme points.	+	Wir erstellen eine Vorzeichentabelle, um diese Punkte zu bestimmen.
-	We can factorize the derivative somewhat,	+	Wir können die Ableitung in Faktoren zerlegen.
-	{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = (x^2+x-2)e^x = (x+2)(x-1)e^x\,,</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = (x^2+x-2)e^x = (x+2)(x-1)e^x\,</math>,}}
-	since <math>x^2+x-2</math> has zeros at <math>x=-2</math> and <math>x=1</math>. Each individual factor in the derivative has a sign that is given in the table:	+	da <math>x^2+x-2</math> die Wurzeln <math>x=-2</math> und <math>x=1</math> hat.
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-	The sign of the derivative is the product of these signs and from the derivative's sign we decide which local extreme points we have:	+	Das Vorzeichen der Ableitung ist das Produkt der Faktoren oben.
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-	The function has local minimum points at <math>x=-3</math> and <math>x=1</math>, and local maximum points <math>x=-2</math> and <math>x=3</math>.	+	Die Funktion hat also lokale Minima an den Stellen <math>x=-3</math> und <math>x=1</math> und lokale Maxima an den Stellen <math>x=-2</math> und <math>x=3</math>.

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Aktuelle Version

Lokale Extrempunkte einer Funktion sind entweder:

1. stationäre Punkte mit \displaystyle f^{\,\prime}(x)=0,
2. singuläre Punkte, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
3. Endpunkte.

Wir untersuchen die einzelnen Fälle.

1. Wir erhalten die stationären Punkte, indem wir die Nullstellen der Ableitung bestimmen.

   \displaystyle \begin{align} f^{\,\prime}(x) &= (x^2-x-1)'e^x + (x^2-x-1)\bigl(e^x\bigr)^{\prime}\\[5pt] &= (2x-1)e^x + (x^2-x-1)e^x\\[5pt] &= (x^2+x-2)e^x\,\textrm{} \end{align}

   Die Ableitung ist null, wenn \displaystyle x^2+x-2=0 null ist, da \displaystyle e^x immer größer als null ist. Wir lösen die quadratische Gleichung durch quadratische Ergänzung.

   \displaystyle \begin{align} \Bigl(x+\frac{1}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^2 - 2 &= 0\,\\[5pt] \Bigl(x+\frac{1}{2}\Bigr)^2 &= \frac{9}{4}\,\\[5pt] x+\frac{1}{2} &= \pm\frac{3}{2}\, \end{align}

   Also ist \displaystyle x=-\tfrac{1}{2}-\tfrac{3}{2}=-2 und \displaystyle x=-\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}=1. Beide Punkte liegen im Intervall \displaystyle -3\le x\le 3\,.
2. Die Funktion besteht aus einem Polynom \displaystyle x^2-x-1 multipliziert mit einer Exponentialfunktion \displaystyle e^x. Da beide Funktionen differenzierbar sind, ist auch unsere Funktion überall differenzierbar.
3. Wir müssen nun die Endpunkte als mögliche lokale Extrempunkte betrachten.

Insgesamt kann die Funktion also in den Punkten \displaystyle x=-3, \displaystyle x=-2, \displaystyle x=1 und \displaystyle x=3 einen lokalen Extrempunkt haben.

Wir erstellen eine Vorzeichentabelle, um diese Punkte zu bestimmen.

Wir können die Ableitung in Faktoren zerlegen.

\displaystyle f^{\,\prime}(x) = (x^2+x-2)e^x = (x+2)(x-1)e^x\,,

da \displaystyle x^2+x-2 die Wurzeln \displaystyle x=-2 und \displaystyle x=1 hat.

\displaystyle x	\displaystyle -3		\displaystyle -2		\displaystyle 1		\displaystyle 3
\displaystyle x+2	\displaystyle -	\displaystyle -	\displaystyle 0	\displaystyle +	\displaystyle +	\displaystyle +	\displaystyle +
\displaystyle x-1	\displaystyle -	\displaystyle -	\displaystyle -	\displaystyle -	\displaystyle 0	\displaystyle +	\displaystyle +
\displaystyle e^x	\displaystyle +	\displaystyle +	\displaystyle +	\displaystyle +	\displaystyle +	\displaystyle +	\displaystyle +

Das Vorzeichen der Ableitung ist das Produkt der Faktoren oben.

\displaystyle x	\displaystyle -3		\displaystyle -2		\displaystyle 1		\displaystyle 3
\displaystyle f^{\,\prime}(x)		\displaystyle +	\displaystyle 0	\displaystyle -	\displaystyle 0	\displaystyle +
\displaystyle f(x)	\displaystyle 11e^{-3}	\displaystyle \nearrow	\displaystyle 5e^{-2}	\displaystyle \searrow	\displaystyle -e	\displaystyle \nearrow	\displaystyle 5e^3

Die Funktion hat also lokale Minima an den Stellen \displaystyle x=-3 und \displaystyle x=1 und lokale Maxima an den Stellen \displaystyle x=-2 und \displaystyle x=3.