Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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-	The only points which can possibly be local extreme points of the function are one of the following,	+	Lokale Extremstellen einer Funktion sind entweder:
-	# critical points, i.e. where <math>f^{\,\prime}(x) = 0\,</math>,	+	# stationäre Stellen mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
-	# points where the function is not differentiable, and	+	# singuläre Stellen, in denen die Funktion nicht differenzierbarbar ist, oder
-	# endpoints of the interval of definition.	+	# Randstellen.
-	What determines the function's region of definition is <math>\ln x</math>, which is defined for <math>x > 0</math>, and this region does not have any endpoints (<math>x=0</math> does not satisfy <math>x>0</math>), so item 3 above does not give rise to any imaginable extreme points. Furthermore, the function is differentiable everywhere (where it is defined), because it consists of <math>x</math> and <math>\ln x</math> which are differentiable functions; so, item 2 above does not contribute any extreme points either.	+	Die Randstellen des Intervalls, in dem die Funktion definiert ist, erhalten wir dadurch, dass <math>\ln x</math> nur definiert ist, wenn <math>x > 0</math>. Daher ist die Funktion in der linken Randstelle des Intervalls nicht definiert, denn (<math>x=0</math> erfüllt nicht <math>x>0</math>), also kann die Bedingung 3 oben keine Extremwerte liefern. Weiterhin ist die Funktion überall differenzierbar, da <math>x</math> und <math>\ln x</math> überall differenzierbar sind, also erhalten wir keine Extremwerte mit der zweiten Bedingung.
-	All the remains are possibly critical points. We differentiate the function	+	Nun bleiben nur noch die stationären Stellen. Die Ableitung der Funktion ist
-	{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 1\cdot \ln x + x\cdot \frac{1}{x} - 0 = \ln x+1</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 1\cdot \ln x + x\cdot \frac{1}{x} - 0 = \ln x+1</math>.}}
-	and see that the derivative is zero when	+	Wir sehen, dass diese Funktion null ist, wenn
	{{Abgesetzte Formel||<math>\ln x = -1\quad \Leftrightarrow \quad x = e^{-1}\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>\ln x = -1\quad \Leftrightarrow \quad x = e^{-1}\,\textrm{.}</math>}}
-	In order to determine whether this is a local maximum, minimum or saddle point, we calculate the second derivative, <math>f^{\,\prime\prime}(x) = 1/x</math>, which gives that	+	Wir berechnen die zweite Ableitung, um den Charakter dieser Extremstelle zu bestimmen. <math>f^{\,\prime\prime}(x) = 1/x</math>, also ist
-	{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime\prime}\bigl(e^{-1}\bigr) = \frac{1}{e^{-1}} = e > 0\,,</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime\prime}\bigl(e^{-1}\bigr) = \frac{1}{e^{-1}} = e > 0\,.</math>}}
-	which implies that <math>x=e^{-1}</math> is a local minimum.	+	Also hat die Funktion an der Stelle <math>x=e^{-1}</math> ein lokales Minimum.

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Aktuelle Version

Lokale Extremstellen einer Funktion sind entweder:

1. stationäre Stellen mit \displaystyle f^{\,\prime}(x)=0,
2. singuläre Stellen, in denen die Funktion nicht differenzierbarbar ist, oder
3. Randstellen.

Die Randstellen des Intervalls, in dem die Funktion definiert ist, erhalten wir dadurch, dass \displaystyle \ln x nur definiert ist, wenn \displaystyle x > 0. Daher ist die Funktion in der linken Randstelle des Intervalls nicht definiert, denn (\displaystyle x=0 erfüllt nicht \displaystyle x>0), also kann die Bedingung 3 oben keine Extremwerte liefern. Weiterhin ist die Funktion überall differenzierbar, da \displaystyle x und \displaystyle \ln x überall differenzierbar sind, also erhalten wir keine Extremwerte mit der zweiten Bedingung.

Nun bleiben nur noch die stationären Stellen. Die Ableitung der Funktion ist

\displaystyle f^{\,\prime}(x) = 1\cdot \ln x + x\cdot \frac{1}{x} - 0 = \ln x+1.

Wir sehen, dass diese Funktion null ist, wenn

\displaystyle \ln x = -1\quad \Leftrightarrow \quad x = e^{-1}\,\textrm{.}

Wir berechnen die zweite Ableitung, um den Charakter dieser Extremstelle zu bestimmen. \displaystyle f^{\,\prime\prime}(x) = 1/x, also ist

\displaystyle f^{\,\prime\prime}\bigl(e^{-1}\bigr) = \frac{1}{e^{-1}} = e > 0\,.

Also hat die Funktion an der Stelle \displaystyle x=e^{-1} ein lokales Minimum.