Lösung 1.2:3c
Aus Online Mathematik Brückenkurs 2
K (Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)) |
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| - | + | Wir schreiben unseren Ausdruck wie folgt | |
| - | {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{x\sqrt{1-x^{2}}} = \bigl(x\sqrt{1-x^2}\,\bigr)^{-1}\,\textrm{ | + | {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{x\sqrt{1-x^{2}}} = \bigl(x\sqrt{1-x^2}\,\bigr)^{-1}\,\textrm{.}</math>}} |
| - | + | Wir sehen, dass die äußere Funktion "irgendetwas hoch -1" ist. Verwenden wir die Kettenregel, erhalten wir die Ableitung. | |
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
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&= {}\rlap{-1\cdot \bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{x\sqrt{1-x^2}}\,\bigr)^{-2}\bigl(\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{x\sqrt{1-x^2}}\,\bigr)'}\phantom{-\frac{1}{x^2(1-x^2)}\Bigl(\sqrt{1-x^2} + x\cdot\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}(1-x^2)'\Bigr)}\\[5pt] | &= {}\rlap{-1\cdot \bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{x\sqrt{1-x^2}}\,\bigr)^{-2}\bigl(\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{x\sqrt{1-x^2}}\,\bigr)'}\phantom{-\frac{1}{x^2(1-x^2)}\Bigl(\sqrt{1-x^2} + x\cdot\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}(1-x^2)'\Bigr)}\\[5pt] | ||
&= -\frac{1}{\bigl(x\sqrt{1-x^2}\bigr)^2}\cdot \bigl(x\sqrt{1-x^2}\bigr)'\\[5pt] | &= -\frac{1}{\bigl(x\sqrt{1-x^2}\bigr)^2}\cdot \bigl(x\sqrt{1-x^2}\bigr)'\\[5pt] | ||
| - | &= -\frac{1}{x^2(1-x^2)}\cdot\bigl(x\sqrt{1-x^2}\bigr)'\,\textrm{ | + | &= -\frac{1}{x^2(1-x^2)}\cdot\bigl(x\sqrt{1-x^2}\bigr)'\,\textrm{} |
\end{align}</math>}} | \end{align}</math>}} | ||
| - | + | Die Ableitung von <math>x\cdot\sqrt{1-x^2}</math> erhalten wir durch die Faktorregel. | |
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
\phantom{\frac{d}{dx}\,\bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{x\sqrt{1-x^2}}\,\bigr)^{-1}}{} | \phantom{\frac{d}{dx}\,\bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{x\sqrt{1-x^2}}\,\bigr)^{-1}}{} | ||
&= {}\rlap{-\frac{1}{x^2(1-x^2)}\cdot \Bigl( (x)'\sqrt{1-x^2} + x(\sqrt{1-x^2})'\Bigr)}\phantom{-\frac{1}{x^2(1-x^2)}\Bigl(\sqrt{1-x^2} + x\cdot\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}(1-x^2)'\Bigr)}\\[5pt] | &= {}\rlap{-\frac{1}{x^2(1-x^2)}\cdot \Bigl( (x)'\sqrt{1-x^2} + x(\sqrt{1-x^2})'\Bigr)}\phantom{-\frac{1}{x^2(1-x^2)}\Bigl(\sqrt{1-x^2} + x\cdot\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}(1-x^2)'\Bigr)}\\[5pt] | ||
| - | &= -\frac{1}{x^2(1-x^2)}\cdot \Bigl(1\cdot\sqrt{1-x^2} + x\cdot (\sqrt{1-x^2})'\Bigr)\,\textrm{ | + | &= -\frac{1}{x^2(1-x^2)}\cdot \Bigl(1\cdot\sqrt{1-x^2} + x\cdot (\sqrt{1-x^2})'\Bigr)\,\textrm{} |
\end{align}</math>}} | \end{align}</math>}} | ||
| - | + | Wir verwenden wieder die Kettenregel, um <math>\sqrt{1-x^2}</math> abzuleiten. | |
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
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&= -\frac{1}{x^2(1-x^2)}\Bigl(\sqrt{1-x^2} + x\cdot\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}(1-x^2)'\Bigr)\\[5pt] | &= -\frac{1}{x^2(1-x^2)}\Bigl(\sqrt{1-x^2} + x\cdot\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}(1-x^2)'\Bigr)\\[5pt] | ||
&= -\frac{1}{x^2(1-x^2)}\Bigl(\sqrt{1-x^2} + x\cdot\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot ( -2x)\Bigr)\\[5pt] | &= -\frac{1}{x^2(1-x^2)}\Bigl(\sqrt{1-x^2} + x\cdot\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot ( -2x)\Bigr)\\[5pt] | ||
| - | &= -\frac{1}{x^2(1-x^2)}\Bigl(\sqrt{1-x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\Bigr)\,\textrm{ | + | &= -\frac{1}{x^2(1-x^2)}\Bigl(\sqrt{1-x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\Bigr)\,\textrm{} |
\end{align}</math>}} | \end{align}</math>}} | ||
| - | + | Schreiben wir den Ausdruck mit gemeinsamen Nenner, erhalten wir | |
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
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| - | + | Hinweis: Wenn wir Vereinfachungen wie <math>(\sqrt{1-x^2} \bigr)^2 = 1-x^2</math> erstellen, nehmen wir an, dass beide Seiten definiert sind (in diesem Fall, dass <math>x</math> zwischen -1 und 1 liegt). | |
Aktuelle Version
Wir schreiben unseren Ausdruck wie folgt
| \displaystyle \frac{1}{x\sqrt{1-x^{2}}} = \bigl(x\sqrt{1-x^2}\,\bigr)^{-1}\,\textrm{.} |
Wir sehen, dass die äußere Funktion "irgendetwas hoch -1" ist. Verwenden wir die Kettenregel, erhalten wir die Ableitung.
| \displaystyle \begin{align}
\frac{d}{dx}\,\bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{x\sqrt{1-x^2}}\,\bigr)^{-1} &= {}\rlap{-1\cdot \bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{x\sqrt{1-x^2}}\,\bigr)^{-2}\bigl(\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{x\sqrt{1-x^2}}\,\bigr)'}\phantom{-\frac{1}{x^2(1-x^2)}\Bigl(\sqrt{1-x^2} + x\cdot\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}(1-x^2)'\Bigr)}\\[5pt] &= -\frac{1}{\bigl(x\sqrt{1-x^2}\bigr)^2}\cdot \bigl(x\sqrt{1-x^2}\bigr)'\\[5pt] &= -\frac{1}{x^2(1-x^2)}\cdot\bigl(x\sqrt{1-x^2}\bigr)'\,\textrm{} \end{align} |
Die Ableitung von \displaystyle x\cdot\sqrt{1-x^2} erhalten wir durch die Faktorregel.
| \displaystyle \begin{align}
\phantom{\frac{d}{dx}\,\bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{x\sqrt{1-x^2}}\,\bigr)^{-1}}{} &= {}\rlap{-\frac{1}{x^2(1-x^2)}\cdot \Bigl( (x)'\sqrt{1-x^2} + x(\sqrt{1-x^2})'\Bigr)}\phantom{-\frac{1}{x^2(1-x^2)}\Bigl(\sqrt{1-x^2} + x\cdot\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}(1-x^2)'\Bigr)}\\[5pt] &= -\frac{1}{x^2(1-x^2)}\cdot \Bigl(1\cdot\sqrt{1-x^2} + x\cdot (\sqrt{1-x^2})'\Bigr)\,\textrm{} \end{align} |
Wir verwenden wieder die Kettenregel, um \displaystyle \sqrt{1-x^2} abzuleiten.
| \displaystyle \begin{align}
\phantom{\frac{d}{dx}\,\bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{x\sqrt{1-x^2}}\,\bigr)^{-1}}{} &= -\frac{1}{x^2(1-x^2)}\Bigl(\sqrt{1-x^2} + x\cdot\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}(1-x^2)'\Bigr)\\[5pt] &= -\frac{1}{x^2(1-x^2)}\Bigl(\sqrt{1-x^2} + x\cdot\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot ( -2x)\Bigr)\\[5pt] &= -\frac{1}{x^2(1-x^2)}\Bigl(\sqrt{1-x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\Bigr)\,\textrm{} \end{align} |
Schreiben wir den Ausdruck mit gemeinsamen Nenner, erhalten wir
| \displaystyle \begin{align}
\phantom{\frac{d}{dx}\,\bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{x\sqrt{1-x^2}}\,\bigr)^{-1}}{} &= {}\rlap{-\frac{1}{x^2(1-x^2)}\cdot \frac{\bigl(\sqrt{1-x^2}\bigr)^2-x^2}{\sqrt{1-x^2}}}\phantom{-\frac{1}{x^2(1-x^2)}\Bigl(\sqrt{1-x^2} + x\cdot\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}(1-x^2)'\Bigr)}\\[5pt] &= -\frac{1}{x^2(1-x^2)}\cdot \frac{1-x^2-x^2}{\sqrt{1-x^2}}\\[5pt] &= -\frac{1-2x^2}{x^2(1-x^2)^{3/2}}\,\textrm{.} \end{align} |
Hinweis: Wenn wir Vereinfachungen wie \displaystyle (\sqrt{1-x^2} \bigr)^2 = 1-x^2 erstellen, nehmen wir an, dass beide Seiten definiert sind (in diesem Fall, dass \displaystyle x zwischen -1 und 1 liegt).
