Lösung 1.2:2f

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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The entire expression is made up of several levels,
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Die Funktion ist mehrmals verkettet
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{\bbox[#FFCC33;,1.5pt]{1-x} } }</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{\bbox[#FFCC33;,1.5pt]{1-x} } }</math>}}
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and when we differentiate we go from the outside inwards. In the first stage, we consider the expression as "cosine of something",
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Die äußerste Ableitung erhalten wir, indem wir den Ausdruck
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{{Abgesetzte Formel||<math>\cos \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\phantom{\sqrt{\bbox[#FFCC33;,1.5pt]{1-x} } } }\,,</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\phantom{\sqrt{\bbox[#FFCC33;,1.5pt]{1-x} } } }\,</math>}}
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and differentiate this using the chain rule,
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mit der Kettenregel ableiten.
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{d}{dx}\,\cos \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{1-x} } = -\sin \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{1-x} }\cdot \bigl(\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{1-x} }\,\bigr)'\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{d}{dx}\,\cos \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{1-x} } = -\sin \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{1-x} }\cdot \bigl(\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{1-x} }\,\bigr)'\,\textrm{}</math>}}
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In the next differentiation, we have "the square root of something",
+
Im nächsten Schritt haben wir die verkettete Funktion "die Wurzel von ..."
{{Abgesetzte Formel||<math>\bigl( \sqrt{\bbox[#FFCC33;,1.5pt]{1-x}}\,\bigr)' = \frac{1}{2\sqrt{\bbox[#FFCC33;,1.5pt]{1-x}}}\cdot \bbox[#FFCC33;,1.5pt]{(1-x)}^{\,\prime}\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\bigl( \sqrt{\bbox[#FFCC33;,1.5pt]{1-x}}\,\bigr)' = \frac{1}{2\sqrt{\bbox[#FFCC33;,1.5pt]{1-x}}}\cdot \bbox[#FFCC33;,1.5pt]{(1-x)}^{\,\prime}\,,</math>}}
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where we have used the differentiation rule,
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wo wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{d}{dx}\,\bigl(\sqrt{x}\,\bigr) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{d}{dx}\,\bigl(\sqrt{x}\,\bigr) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\,\textrm{.}</math>}}
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for the outer derivative.
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verwendet haben.
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The whole differentiation in one go becomes
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Die Ableitung der ganzen Funktion ist also
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}

Aktuelle Version

Die Funktion ist mehrmals verkettet

\displaystyle \cos \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{\bbox[#FFCC33;,1.5pt]{1-x} } }

Die äußerste Ableitung erhalten wir, indem wir den Ausdruck

\displaystyle \cos \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\phantom{\sqrt{\bbox[#FFCC33;,1.5pt]{1-x} } } }\,

mit der Kettenregel ableiten.

\displaystyle \frac{d}{dx}\,\cos \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{1-x} } = -\sin \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{1-x} }\cdot \bigl(\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{1-x} }\,\bigr)'\,\textrm{}

Im nächsten Schritt haben wir die verkettete Funktion "die Wurzel von ..."

\displaystyle \bigl( \sqrt{\bbox[#FFCC33;,1.5pt]{1-x}}\,\bigr)' = \frac{1}{2\sqrt{\bbox[#FFCC33;,1.5pt]{1-x}}}\cdot \bbox[#FFCC33;,1.5pt]{(1-x)}^{\,\prime}\,,

wo wir

\displaystyle \frac{d}{dx}\,\bigl(\sqrt{x}\,\bigr) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\,\textrm{.}

verwendet haben.

Die Ableitung der ganzen Funktion ist also

\displaystyle \begin{align}

\frac{d}{dx}\cos\sqrt{1-x} &= -\sin\sqrt{1-x}\cdot\frac{d}{dx}\,\sqrt{1-x}\\[5pt] &= -\sin\sqrt{1-x}\cdot\frac{1}{2\sqrt{1-x}}\cdot\frac{d}{dx}\,(1-x)\\[5pt] &= -\sin\sqrt{1-x}\cdot\frac{1}{2\sqrt{1-x}}\cdot (-1)\\[5pt] &= \frac{\sin\sqrt{1-x}}{2\sqrt{1-x}}\,\textrm{.} \end{align}

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