Lösung 1.2:1c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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The expression is a quotient of two polynomials, <math>x^2+1</math> and <math>x+1</math>, and we therefore use the quotient rule for differentiation,
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Der Ausdruck ist ein Bruch mit den Zähler <math>x^2+1</math> und dem Nenner <math>x+1</math>, daher verwenden wir die Quotientenregel, um die Funktion abzuleiten.
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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&= \frac{2x\cdot (x+1) - (x^2+1)\cdot 1}{(x+1)^2}\\[5pt]
&= \frac{2x\cdot (x+1) - (x^2+1)\cdot 1}{(x+1)^2}\\[5pt]
&= \frac{2x^2+2x-x^2-1}{(x+1)^2}\\[5pt]
&= \frac{2x^2+2x-x^2-1}{(x+1)^2}\\[5pt]
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&= \frac{x^2+2x-1}{(x+1)^2}\,\textrm{.}
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&= \frac{x^2+2x-1}{(x+1)^2}\,\textrm{}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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Hinweis: Wir können den Zähler durch quadratische Ergänzung umschreiben.
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Note: It is possible to rewrite the numerator by completing the square,
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{{Abgesetzte Formel||<math>x^2+2x-1 = (x+1)^{2} - 1^2 - 1 = (x+1)^2 - 2</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2+2x-1 = (x+1)^{2} - 1^2 - 1 = (x+1)^2 - 2</math>}}
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and then the answer can be written as
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Dadurch erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x^2+2x-1}{(x+1)^2} = \frac{(x+1)^2-2}{(x+1)^2} = 1-\frac{2}{(x+1)^2}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x^2+2x-1}{(x+1)^2} = \frac{(x+1)^2-2}{(x+1)^2} = 1-\frac{2}{(x+1)^2}\,\textrm{.}</math>}}

Aktuelle Version

Der Ausdruck ist ein Bruch mit den Zähler \displaystyle x^2+1 und dem Nenner \displaystyle x+1, daher verwenden wir die Quotientenregel, um die Funktion abzuleiten.

\displaystyle \begin{align}

\Bigl(\frac{x^2+1}{x+1}\Bigr)' &= \frac{(x^2+1)'\cdot (x+1) - (x^2+1)\cdot (x+1)'}{(x+1)^2}\\[5pt] &= \frac{2x\cdot (x+1) - (x^2+1)\cdot 1}{(x+1)^2}\\[5pt] &= \frac{2x^2+2x-x^2-1}{(x+1)^2}\\[5pt] &= \frac{x^2+2x-1}{(x+1)^2}\,\textrm{} \end{align}

Hinweis: Wir können den Zähler durch quadratische Ergänzung umschreiben.

\displaystyle x^2+2x-1 = (x+1)^{2} - 1^2 - 1 = (x+1)^2 - 2

Dadurch erhalten wir

\displaystyle \frac{x^2+2x-1}{(x+1)^2} = \frac{(x+1)^2-2}{(x+1)^2} = 1-\frac{2}{(x+1)^2}\,\textrm{.}
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