Lösung 3.3:6

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
Aktuelle Version (12:52, 3. Sep. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
 
(Der Versionsvergleich bezieht 7 dazwischen liegende Versionen mit ein.)
Zeile 1: Zeile 1:
-
We take up the exercise's challenge and solve the equation both in polar form and in the form a+ib.
+
'''Polarform'''
-
Polar form
+
Wir schreiben die Gleichung zuerst in Polarform
-
In polar form,
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
z &= r\,(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt]
 +
1+i &= \sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\,
 +
\end{align}</math>}}
 +
und durch den Moivrischen Satz erhalten wir die Gleichung
-
<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>r^2(\cos 2\alpha + i\sin 2\alpha) = \sqrt{2}\Bigl(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\,\textrm{.}</math>}}
-
& z=r\left( \cos \alpha +i\sin \alpha \right) \\
+
-
& 1+i=\sqrt{2}\left( \cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4} \right) \\
+
-
\end{align}</math>
+
 +
Damit die beiden Seiten gleich sind, müssen die Beträge der beiden Seiten gleich sein und die Argumente der beiden Seiten dürfen sich nur um ein Vielfaches von <math>2\pi</math> unterscheiden
-
and, using de Moivre's formula, the equation becomes
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
-
 
+
r^2 &= \sqrt{2}\,,\\[5pt]
-
 
+
2\alpha &= \frac{\pi}{4}+2n\pi\,.\quad
-
<math>r^{2}\left( \cos 2\alpha +i\sin 2\alpha \right)=\sqrt{2}\left( \cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4} \right)</math>
+
\end{align}\right.</math>}}
-
 
+
-
 
+
-
If both sides are to be equal, their magnitudes must be equal and their arguments must be equal, other than for multiples of
+
-
<math>2\pi </math>,
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\left\{ \begin{array}{*{35}l}
+
-
r^{2}=\sqrt{2} \\
+
-
2\alpha =\frac{\pi }{4}+2n\pi \quad \left( n\text{ an arbitrary integer} \right)\text{ } \\
+
-
\end{array} \right.</math>
+
-
This gives
+
Das ergibt
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
 +
r &= \sqrt{\sqrt{2}} = \bigl(2^{1/2}\bigr)^{1/2} = 2^{1/4} = \sqrt[4]{2}\,,\\[5pt]
 +
\alpha &= \frac{\pi}{8}+n\pi\,.\quad
 +
\end{align}\right.</math>}}
-
<math>\left\{ \begin{array}{*{35}l}
+
Das entspricht zwei Lösungen, da alle geraden Zahlen dem Argument <math>\pi/8</math> entsprechen, plus ein Vielfaches von <math>2\pi</math> und alle ungerade Zahlen dem Argument <math>9\pi/8</math> entsprechen, plus ein Vielfaches von <math>2\pi</math>.
-
r=\sqrt{\sqrt{2}}=\left( 2^{{1}/{2}\;} \right)^{{1}/{2}\;}=2^{{1}/{4}\;}=\sqrt[4]{2} \\
+
-
\alpha =\frac{\pi }{8}+n\pi \quad \left( n\text{ an arbitrary integer} \right)\text{ } \\
+
-
\end{array} \right.</math>
+
-
which corresponds two solutions, because all even values of
+
In Polarform lauten die Lösungen also
-
<math>n</math>
+
-
give the argument
+
-
<math>\frac{\pi }{8}</math>, to within multiples of
+
-
<math>2\pi </math>, and all odd values of
+
-
<math>n</math>
+
-
give the argument
+
-
<math>\frac{9\pi }{8}</math>, to within a multiples of
+
-
<math>2\pi </math>.
+
-
Thus, in polar form, we have the solutions,
+
{{Abgesetzte Formel||<math>z = \left\{\begin{align}
-
 
+
&\sqrt[4]{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8}\Bigr)\,,\\[5pt]
-
 
+
&\sqrt[4]{2}\Bigl(\cos\frac{9\pi}{8} + i\sin\frac{9\pi}{8}\Bigr)\,\textrm{.}
-
<math>z=\left\{ \begin{array}{*{35}l}
+
\end{align}\right.</math>}}
-
\sqrt[4]{2}\left( \cos \frac{\pi }{8}+i\sin \frac{\pi }{8} \right) \\
+
-
\sqrt[4]{2}\left( \cos \frac{9\pi }{8}+i\sin \frac{9\pi }{8} \right)\text{ } \\
+
-
\end{array} \right.</math>
+
-
 
+
-
One solution
+
-
<math>z=\sqrt[4]{2}\left( \cos \frac{\pi }{8}+i\sin \frac{\pi }{8} \right)</math>
+
-
lies in the first quadrant and the second solution
+
-
<math>z=\sqrt[4]{2}\left( \cos \frac{9\pi }{8}+i\sin \frac{9\pi }{8} \right)</math>
+
-
lies in the third quadrant.
+
 +
Eine Lösung, <math>z=\sqrt[4]{2}(\cos (\pi/8) + i\sin (\pi/8)</math>, liegt im ersten Quadrant und die zweite Lösung, <math>z=\sqrt[4]{2}(\cos (9\pi/8) + i\sin (9\pi/8))</math>, liegt im dritten Quadrant.
[[Image:3_3_6.gif|center]]
[[Image:3_3_6.gif|center]]
-
Rectangular form
 
-
The alternative way to solve the equation is to put
+
''' In der Form ''a'' + ''bi'' '''
-
<math>z=x+iy</math>
+
-
and to try to solve the equation for
+
-
<math>x</math>
+
-
and
+
-
<math>y</math>.
+
-
If
+
Wir schreiben hier <math>z=x+iy</math> und versuchen die Konstanten <math>x</math> und <math>y</math> zu bestimmen.
-
<math>z=x+iy</math>, the equation becomes
+
 +
Mit <math>z=x+iy</math> erhalten wir die Gleichung
-
<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
& \left( x+iy \right)^{2}=1+i \\
+
(x+iy)^2 &= 1+i\,,\\[5pt]
-
& x^{2}-y^{2}+2xyi=1+i \\
+
x^2-y^2+2xyi &= 1+i\,\textrm{.}
-
\end{align}</math>
+
\end{align}</math>}}
 +
Da der Real- und Imaginärteil der beiden Seiten gleich sein muss, erhalten wir
-
Because both sides' real and imaginary parts must equal each other,
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
 +
x^2 - y^2 &= 1\,,\\[5pt]
 +
2xy &= 1\,\textrm{.}
 +
\end{align}\right.</math>}}
 +
Wir können hier <math>x</math> und <math>y</math> direkt bestimmen, aber um es einfacher zu machen, berechnen wir den Betrag von beiden Seiten
-
<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 + y^2 = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}\,\textrm{.}</math>}}
-
& x^{2}-y^{2}=1 \\
+
-
& 2xy=1 \\
+
-
\end{align}</math>
+
 +
Wir erhalten insgesamt drei Gleichungen
-
All the information for determining
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
-
<math>x</math>
+
x^2 -y^2 &= 1\,,\\[5pt]
-
and
+
2xy &= 1\,,\\[5pt]
-
<math>y</math>
+
x^2 + y^2 &= \sqrt{2}\,\textrm{.}
-
is in these two equations, but it will make things easier if we include an extra relation: the magnitude of both sides should be equal,
+
\end{align}\right.</math>}}
 +
Addieren wir die erste Gleichung zur dritten erhalten wir
 +
{| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;"
 +
||
 +
|align="right"|<math>x^2</math>
 +
||<math>{}-{}</math>
 +
|align="right"|<math>y^2</math>
 +
||<math>{}={}</math>
 +
|align="left"|<math>1</math>
 +
|-
 +
|align="left"|<math>+\ \ </math>
 +
|align="right"|<math>x^2</math>
 +
||<math>{}+{}</math>
 +
||<math>y^2</math>
 +
||<math>{}={}</math>
 +
|align="left"|<math>\sqrt{2}</math>
 +
|-
 +
|colspan="6"|<hr>
 +
|-
 +
||
 +
|align="right"|<math>2x^2</math>
 +
||
 +
||
 +
||<math>{}={}</math>
 +
|align="right"|<math>\sqrt{2}+1</math>
 +
|}
-
<math>x^{2}+y^{2}=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}</math>
+
und wir erhalten
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>x=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\,\textrm{.}</math>}}
-
Therefore, we have in total three equations,
+
Subtrahieren wir die erste Gleichung von der dritten, erhalten wir
 +
{| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;"
 +
||
 +
|align="right"|<math>x^2</math>
 +
||<math>{}+{}</math>
 +
|align="right"|<math>y^2</math>
 +
||<math>{}={}</math>
 +
|align="left"|<math>\sqrt{2}</math>
 +
|-
 +
|align="left"|<math>-\ \ </math>
 +
|align="right"|<math>\bigl(x^2</math>
 +
||<math>{}-{}</math>
 +
|align="right"|<math>y^2</math>
 +
||<math>{}={}</math>
 +
|align="left"|<math>1\bigr)</math>
 +
|-
 +
|colspan="6"|<hr>
 +
|-
 +
||
 +
||
 +
||
 +
|align="right"|<math>2y^2</math>
 +
||<math>{}={}</math>
 +
|align="right"|<math>\sqrt{2}-1</math>
 +
|}
 +
und das ergibt
-
<math>\left\{ \begin{array}{*{35}l}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>y=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\,\textrm{.}</math>}}
-
x^{2}-y^{2}=1\, \\
+
-
2xy=1 \\
+
-
x^{2}+y^{2}=\sqrt{2} \\
+
-
\end{array} \right.</math>
+
 +
Insgesamt haben wir also vier mögliche Lösungen.
-
If we add the first and the third equations,
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
 +
x &= \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\\[5pt]
 +
y &= \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}
 +
\end{align}\right.
 +
\quad
 +
\left\{\begin{align}
 +
x &= \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\\[5pt]
 +
y &= -\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}
 +
\end{align}\right.
 +
\quad
 +
\left\{\begin{align}
 +
x &= -\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\\[5pt]
 +
y &= \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}
 +
\end{align}\right.
 +
\quad
 +
\left\{\begin{align}
 +
x &= -\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\\[5pt]
 +
y &= -\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}
 +
\end{align} \right.</math>}}
-
EQ1
+
Die zweite Gleichung sagt auch, dass <math>xy</math> positiv sein soll. Wir behalten daher nur die Gleichungen.
-
we get that
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
-
<math>x</math>
+
x &= \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\\[5pt]
-
must be equal to
+
y &= \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}
 +
\end{align}\right.
 +
\qquad\text{und}\qquad
 +
\left\{\begin{align}
 +
x &= -\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\\[5pt]
 +
y &= -\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}
 +
\end{align}\right.</math>}}
 +
Nachdem wir wissen, dass unsere Gleichung zwei Lösungen hat, müssen diese unsere Lösungen sein
-
<math>x=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}</math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>z = \left\{\begin{align}
 +
\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\,,\\[5pt]
 +
-\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}} - i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\,\textrm{.}
 +
\end{align}\right.</math>}}
 +
Vergleichen wir diese Lösungen mit den Lösungen in Polarform, erhalten wir
-
If we subtract the first equation from the third equation,
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt[4]{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8} \Bigr) = \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}</math>}}
-
EQ2
+
und daraus folgt
-
we obtain that
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
<math>y</math>
+
\cos\frac{\pi}{8} &= \frac{1}{\sqrt[4]{2}}\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\,,\\[5pt]
-
must be equal to
+
\sin\frac{\pi}{8} &= \frac{1}{\sqrt[4]{2}}\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
 +
Wir erhalten auch
-
<math>y=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}</math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\tan\frac{\pi}{8} = \frac{\sin\dfrac{\pi}{8}}{\cos\dfrac{\pi}{8}} = \frac{\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}\sqrt{\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}}}{\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}\sqrt{\dfrac{\sqrt{2}+1}{2}}} = \sqrt {\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}}\,\textrm{.}</math>}}
-
 
+
Wir können diesen Ausdruck vereinfachen, indem wir den Ausdruck mit dem konjugierten Nenner erweitern
-
All in all, this gives us four possible solutions
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\left\{ \begin{array}{*{35}l}
+
-
x=\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}} \\
+
-
y=\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}} \\
+
-
\end{array} \right.\quad \left\{ \begin{array}{*{35}l}
+
-
x=\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}} \\
+
-
y=-\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}} \\
+
-
\end{array} \right.\quad \left\{ \begin{array}{*{35}l}
+
-
x=-\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}} \\
+
-
y=\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}} \\
+
-
\end{array} \right.\quad \left\{ \begin{array}{*{35}l}
+
-
x=-\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}} \\
+
-
y=-\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}} \\
+
-
\end{array} \right.</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
although we have only taken account of the first and third equations.
+
-
 
+
-
The second equation says that the product
+
-
<math>xy</math>
+
-
should be positive and then we can directly get rid of solutions in which
+
-
<math>x</math>
+
-
and
+
-
<math>y</math>
+
-
have different signs. Thus, all that is left is
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\left\{ \begin{array}{*{35}l}
+
-
x=\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}} \\
+
-
y=\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}} \\
+
-
\end{array} \right.\quad \quad \text{and}\quad \quad \left\{ \begin{array}{*{35}l}
+
-
x=-\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}} \\
+
-
y=-\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}} \\
+
-
\end{array} \right.</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
Now, we know already that the equation has two solutions, so we can draw the conclusion that these are
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>z=\left\{ \begin{array}{*{35}l}
+
-
\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}+i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}} \\
+
-
-\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}-i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}} \\
+
-
\end{array} \right.</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
If we compare the solution in the first quadrant when it is expressed in polar and rectangular forms, we have
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\sqrt[4]{2}\left( \cos \frac{\pi }{8}+i\sin \frac{\pi }{8} \right)=\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}+i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}</math>
+
-
 
+
-
and therefore we must have that
+
-
 
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\begin{align}
+
-
& \cos \frac{\pi }{8}=\frac{1}{\sqrt[4]{2}}\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}} \\
+
-
& \sin \frac{\pi }{8}=\frac{1}{\sqrt[4]{2}}\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}} \\
+
-
\end{align}</math>
+
-
 
+
-
Thus, we have
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\tan \frac{\pi }{8}=\frac{\sin \frac{\pi }{8}}{\cos \frac{\pi }{8}}=\frac{\frac{1}{\sqrt[4]{2}}\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}}{\frac{1}{\sqrt[4]{2}}\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}}=\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}}</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
 
+
-
We can simplify the expression under the root sign by multiplying top and bottom by the conjugate of the denominator:
+
-
 
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
 
+
\tan\frac{\pi}{8}
-
<math>\begin{align}
+
&= \sqrt {\frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}}
-
& \tan \frac{\pi }{8}=\sqrt{\frac{\left( \sqrt{2}-1 \right)\left( \sqrt{2}-1 \right)}{\left( \sqrt{2}+1 \right)\left( \sqrt{2}-1 \right)}}=\sqrt{\frac{\left( \sqrt{2}-1 \right)^{2}}{\left( \sqrt{2} \right)^{2}-1^{2}}} \\
+
= \sqrt {\frac{(\sqrt{2}-1)^2}{(\sqrt{2})^2-1^2}}\\[5pt]
-
& =\sqrt{\frac{\left( \sqrt{2}-1 \right)^{2}}{2-1}}=\sqrt{\left( \sqrt{2}-1 \right)^{2}}=\sqrt{2}-1 \\
+
&= \sqrt{\frac{(\sqrt{2}-1)^2}{2-1}}
-
\end{align}</math>
+
= \sqrt{(\sqrt{2}-1)^2}
 +
= \sqrt{2}-1\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}

Aktuelle Version

Polarform

Wir schreiben die Gleichung zuerst in Polarform

\displaystyle \begin{align}

z &= r\,(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt] 1+i &= \sqrt{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\, \end{align}

und durch den Moivrischen Satz erhalten wir die Gleichung

\displaystyle r^2(\cos 2\alpha + i\sin 2\alpha) = \sqrt{2}\Bigl(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\,\textrm{.}

Damit die beiden Seiten gleich sind, müssen die Beträge der beiden Seiten gleich sein und die Argumente der beiden Seiten dürfen sich nur um ein Vielfaches von \displaystyle 2\pi unterscheiden

\displaystyle \left\{\begin{align}

r^2 &= \sqrt{2}\,,\\[5pt] 2\alpha &= \frac{\pi}{4}+2n\pi\,.\quad \end{align}\right.

Das ergibt

\displaystyle \left\{\begin{align}

r &= \sqrt{\sqrt{2}} = \bigl(2^{1/2}\bigr)^{1/2} = 2^{1/4} = \sqrt[4]{2}\,,\\[5pt] \alpha &= \frac{\pi}{8}+n\pi\,.\quad \end{align}\right.

Das entspricht zwei Lösungen, da alle geraden Zahlen dem Argument \displaystyle \pi/8 entsprechen, plus ein Vielfaches von \displaystyle 2\pi und alle ungerade Zahlen dem Argument \displaystyle 9\pi/8 entsprechen, plus ein Vielfaches von \displaystyle 2\pi.

In Polarform lauten die Lösungen also

\displaystyle z = \left\{\begin{align}

&\sqrt[4]{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8}\Bigr)\,,\\[5pt] &\sqrt[4]{2}\Bigl(\cos\frac{9\pi}{8} + i\sin\frac{9\pi}{8}\Bigr)\,\textrm{.} \end{align}\right.


Eine Lösung, \displaystyle z=\sqrt[4]{2}(\cos (\pi/8) + i\sin (\pi/8), liegt im ersten Quadrant und die zweite Lösung, \displaystyle z=\sqrt[4]{2}(\cos (9\pi/8) + i\sin (9\pi/8)), liegt im dritten Quadrant.


In der Form a + bi

Wir schreiben hier \displaystyle z=x+iy und versuchen die Konstanten \displaystyle x und \displaystyle y zu bestimmen.

Mit \displaystyle z=x+iy erhalten wir die Gleichung

\displaystyle \begin{align}

(x+iy)^2 &= 1+i\,,\\[5pt] x^2-y^2+2xyi &= 1+i\,\textrm{.} \end{align}

Da der Real- und Imaginärteil der beiden Seiten gleich sein muss, erhalten wir

\displaystyle \left\{\begin{align}

x^2 - y^2 &= 1\,,\\[5pt] 2xy &= 1\,\textrm{.} \end{align}\right.

Wir können hier \displaystyle x und \displaystyle y direkt bestimmen, aber um es einfacher zu machen, berechnen wir den Betrag von beiden Seiten

\displaystyle x^2 + y^2 = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}\,\textrm{.}

Wir erhalten insgesamt drei Gleichungen

\displaystyle \left\{\begin{align}

x^2 -y^2 &= 1\,,\\[5pt] 2xy &= 1\,,\\[5pt] x^2 + y^2 &= \sqrt{2}\,\textrm{.} \end{align}\right.

Addieren wir die erste Gleichung zur dritten erhalten wir

\displaystyle x^2 \displaystyle {}-{} \displaystyle y^2 \displaystyle {}={} \displaystyle 1
\displaystyle +\ \ \displaystyle x^2 \displaystyle {}+{} \displaystyle y^2 \displaystyle {}={} \displaystyle \sqrt{2}
\displaystyle 2x^2 \displaystyle {}={} \displaystyle \sqrt{2}+1

und wir erhalten

\displaystyle x=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\,\textrm{.}

Subtrahieren wir die erste Gleichung von der dritten, erhalten wir

\displaystyle x^2 \displaystyle {}+{} \displaystyle y^2 \displaystyle {}={} \displaystyle \sqrt{2}
\displaystyle -\ \ \displaystyle \bigl(x^2 \displaystyle {}-{} \displaystyle y^2 \displaystyle {}={} \displaystyle 1\bigr)
\displaystyle 2y^2 \displaystyle {}={} \displaystyle \sqrt{2}-1

und das ergibt

\displaystyle y=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\,\textrm{.}

Insgesamt haben wir also vier mögliche Lösungen.

\displaystyle \left\{\begin{align}

x &= \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\\[5pt] y &= \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}} \end{align}\right. \quad \left\{\begin{align} x &= \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\\[5pt] y &= -\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}} \end{align}\right. \quad \left\{\begin{align} x &= -\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\\[5pt] y &= \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}} \end{align}\right. \quad \left\{\begin{align} x &= -\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\\[5pt] y &= -\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}} \end{align} \right.

Die zweite Gleichung sagt auch, dass \displaystyle xy positiv sein soll. Wir behalten daher nur die Gleichungen.

\displaystyle \left\{\begin{align}

x &= \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\\[5pt] y &= \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}} \end{align}\right. \qquad\text{und}\qquad \left\{\begin{align} x &= -\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\\[5pt] y &= -\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}} \end{align}\right.

Nachdem wir wissen, dass unsere Gleichung zwei Lösungen hat, müssen diese unsere Lösungen sein

\displaystyle z = \left\{\begin{align}

\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\,,\\[5pt] -\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}} - i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\,\textrm{.} \end{align}\right.

Vergleichen wir diese Lösungen mit den Lösungen in Polarform, erhalten wir

\displaystyle \sqrt[4]{2}\Bigl(\cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8} \Bigr) = \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}

und daraus folgt

\displaystyle \begin{align}

\cos\frac{\pi}{8} &= \frac{1}{\sqrt[4]{2}}\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\,,\\[5pt] \sin\frac{\pi}{8} &= \frac{1}{\sqrt[4]{2}}\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\,\textrm{.} \end{align}

Wir erhalten auch

\displaystyle \tan\frac{\pi}{8} = \frac{\sin\dfrac{\pi}{8}}{\cos\dfrac{\pi}{8}} = \frac{\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}\sqrt{\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}}}{\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}\sqrt{\dfrac{\sqrt{2}+1}{2}}} = \sqrt {\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}}\,\textrm{.}

Wir können diesen Ausdruck vereinfachen, indem wir den Ausdruck mit dem konjugierten Nenner erweitern

\displaystyle \begin{align}

\tan\frac{\pi}{8} &= \sqrt {\frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}} = \sqrt {\frac{(\sqrt{2}-1)^2}{(\sqrt{2})^2-1^2}}\\[5pt] &= \sqrt{\frac{(\sqrt{2}-1)^2}{2-1}} = \sqrt{(\sqrt{2}-1)^2} = \sqrt{2}-1\,\textrm{.} \end{align}

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_3.3:6“