Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Version vom 13:21, 30. Okt. 2008 (bearbeiten) Tek (Diskussion | Beiträge) K ← Zum vorherigen Versionsunterschied		Aktuelle Version (12:31, 3. Sep. 2009) (bearbeiten) (rückgängig) Sekretariat1 (Diskussion | Beiträge)
(Der Versionsvergleich bezieht 4 dazwischen liegende Versionen mit ein.)
Zeile 1:		Zeile 1:
-	If we treat the expression <math>w=\frac{z+i}{z-i}</math> as an unknown, we have the equation	+	Wenn wir die Gleichung für <math>w=\frac{z+i}{z-i}</math> lösen, erhalten wir
-	{{Displayed math||<math>w^2=-1\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>w^2=-1\,\textrm{,}</math>}}
-	We know already that this equation has roots	+	deren Wurzeln wir schon kennen,
-	{{Displayed math||<math>w=\left\{\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>w=\left\{\begin{align}
	-i\,,&\\[5pt]		-i\,,&\\[5pt]
	i\,,&		i\,,&
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}
-	so <math>z</math> should satisfy one of the equation's	+	also muss <math>z</math> die Gleichung
-	{{Displayed math||<math>\frac{z+i}{z-i}=-i\quad</math> or <math>\quad\frac{z+i}{z-i}=i\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{z+i}{z-i}=-i\quad</math> oder <math>\quad\frac{z+i}{z-i}=i</math>}}
-	We solve these equations one by one.	+	erfüllen. Wir lösen die beiden Fälle getrennt.
	*<math>(z+i)/(z-i)=-i</math>:		*<math>(z+i)/(z-i)=-i</math>:
-	:Multiply both sides by <math>z-i</math>,	+	:Wir multiplizieren beide Seiten mit <math>z-i</math>,
-	{{Displayed math||<math>z+i=-i(z-i)\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>z+i=-i(z-i)</math>}}
-	:Move all the <math>z</math>-terms over to the left-hand side and all the constants to the right-hand side,	+	:und ziehen alle <math>z</math>-Terme zur linken Seite und alle Konstanten zur rechten Seite
-	{{Displayed math||<math>z+iz=-1-i\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>z+iz=-1-i\,\textrm{.}</math>}}
-	:This gives	+	:Das ergibt
-	{{Displayed math||<math>z = \frac{-1-i}{1+i} = \frac{-(1+i)}{1+i} = -1\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>z = \frac{-1-i}{1+i} = \frac{-(1+i)}{1+i} = -1\,\textrm{.}</math>}}
	*<math>(z+i)/(z-i)=i</math>:		*<math>(z+i)/(z-i)=i</math>:
-	:Multiply both sides by <math>z-i</math>,	+	:Wir multiplizieren beide Seiten mit <math>z-i</math>,
-	{{Displayed math||<math>z+i=i(z-i)\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>z+i=i(z-i)</math>}}
-	:Move all the <math>z</math>-terms over to the left-hand side and all the constants to the right-hand side,	+	:und ziehen alle <math>z</math>-Terme zur linken Seite und alle Konstanten zur rechten Seite
-	{{Displayed math||<math>z-iz=1-i\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>z-iz=1-i\,\textrm{.}</math>}}
-	:This gives	+	:Dies ergibt
-	{{Displayed math||<math>z = \frac{1-i}{1-i} = 1\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>z = \frac{1-i}{1-i} = 1\,\textrm{.}</math>}}
-	The solutions are therefore <math>z=-1</math> and <math>z=1\,</math>.	+	Die Wurzeln sind daher <math>z=-1</math> und <math>z=1\,</math>.

---

Aktuelle Version

Wenn wir die Gleichung für \displaystyle w=\frac{z+i}{z-i} lösen, erhalten wir

\displaystyle w^2=-1\,\textrm{,}

deren Wurzeln wir schon kennen,

\displaystyle w=\left\{\begin{align} -i\,,&\\[5pt] i\,,& \end{align}\right.

also muss \displaystyle z die Gleichung

\displaystyle \frac{z+i}{z-i}=-i\quad oder \displaystyle \quad\frac{z+i}{z-i}=i

erfüllen. Wir lösen die beiden Fälle getrennt.

• \displaystyle (z+i)/(z-i)=-i:

Wir multiplizieren beide Seiten mit \displaystyle z-i,

\displaystyle z+i=-i(z-i)

und ziehen alle \displaystyle z-Terme zur linken Seite und alle Konstanten zur rechten Seite

\displaystyle z+iz=-1-i\,\textrm{.}

Das ergibt

\displaystyle z = \frac{-1-i}{1+i} = \frac{-(1+i)}{1+i} = -1\,\textrm{.}

• \displaystyle (z+i)/(z-i)=i:

Wir multiplizieren beide Seiten mit \displaystyle z-i,

\displaystyle z+i=i(z-i)

und ziehen alle \displaystyle z-Terme zur linken Seite und alle Konstanten zur rechten Seite

\displaystyle z-iz=1-i\,\textrm{.}

Dies ergibt

\displaystyle z = \frac{1-i}{1-i} = 1\,\textrm{.}

Die Wurzeln sind daher \displaystyle z=-1 und \displaystyle z=1\,.