Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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-	An equation of the type "<math>z^{n} = \text{a complex number}</math>" is called a binomial equation and these are usually solved by going over to polar form and using de Moivre's formula.	+	Eine Gleichung der Form "<math>z^{n} = \text{Eine komplexe Zahl}</math>" löst man, indem man alle Zahlen in Polarform bringt und den Moivreschen Satz benutzt.
-	We start by writing <math>z</math> and <math>1</math> in polar form	+	Wir bringen zuerst <math>z</math> und <math>1</math> in Polarform
-	{{Displayed math||<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
	z &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt]		z &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt]
	1 &= 1(\cos 0 + i\sin 0)\,\textrm{.}		1 &= 1(\cos 0 + i\sin 0)\,\textrm{.}
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}
-	The equation then becomes	+	Wir erhalten die Gleichung
-	{{Displayed math||<math>r^4(\cos 4\alpha + i\sin 4\alpha) = 1\,(\cos 0 + i\sin 0)\,,</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>r^4(\cos 4\alpha + i\sin 4\alpha) = 1\,(\cos 0 + i\sin 0)\,,</math>}}
-	where we have used de Moivre's formula on the left-hand side. In order that both sides are equal, they must have the same magnitude and the same argument to within a multiple of <math>2\pi</math>, i.e.	+	wobei wir den Moivreschen Satz auf der linken Seite benutzt haben. Damit die rechte und die linke Seite gleich sind, müssen deren Beträge gleich sein und auch deren Argumente dürfen sich nur durch ein Vielfaches von <math>2\pi</math> unterscheiden
-	{{Displayed math||<math>\left\{\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
	r^{4} &= 1\,,\\[5pt]		r^{4} &= 1\,,\\[5pt]
-	4\alpha &= 0+2n\pi\,,\quad (\text{n is an arbitrary integer})\,\textrm{.}	+	4\alpha &= 0+2n\pi\,,\quad (\text{n ist eine beliebige ganze Zahl})\textrm{.}
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}
-	This means that	+	Also ist
-	{{Displayed math||<math>\left\{\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
	r &= 1\,,\\[5pt]		r &= 1\,,\\[5pt]
-	\alpha &= \frac{n\pi}{2}\,,\quad \text{(n is an arbitrary integer).}	+	\alpha &= \frac{n\pi}{2}\,,\quad \text{(n ist eine beliebige ganze Zahl).}
	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}
-	The solutions are thus (in polar form)	+	Und die Wurzeln sind
-	{{Displayed math||<math>z = 1\cdot\Bigl(\cos\frac{n\pi}{2} + i\sin\frac{n\pi}{2}\Bigr)\,,\quad\text{for }n=0,\ \pm 1,\ \pm 2,\ldots</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>z = 1\cdot\Bigl(\cos\frac{n\pi}{2} + i\sin\frac{n\pi}{2}\Bigr)\,,\quad\text{für }n=0, 1, 2, 3</math>.}}
-	but observe that the argument on the right-hand side essentially takes only four different values <math>0</math>, <math>\pi/2</math>, <math>\pi</math> and <math>3\pi/2\,</math>, because other values of <math>n</math> give some of these values plus/minus a multiple of <math>2\pi\,</math>.	+	Wir erhalten aber nur vier unterschiedliche Winkel, nämlich <math>0</math>, <math>\pi/2</math>, <math>\pi</math> und <math>3\pi/2</math>, da jeder anderer Winkel sich nur durch ein Vielfaches von <math>2\pi\,</math> von diesen Winkeln unterscheidet.
-	The equation's solutions are therefore	+	Die Wurzeln sind daher
-	{{Displayed math||<math>z=\left\{\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>z=\left\{\begin{align}
	&1\cdot(\cos 0 + i\sin 0)\,,\\[5pt]		&1\cdot(\cos 0 + i\sin 0)\,,\\[5pt]
	&1\cdot(\cos (\pi/2) + i\sin (\pi/2))\,,\\[5pt]		&1\cdot(\cos (\pi/2) + i\sin (\pi/2))\,,\\[5pt]
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	\end{align}\right.</math>}}		\end{align}\right.</math>}}
-		+	Wir sehen, dass die Lösungen ein Quadrat bilden, wie wir es erwarten, da wir 4 verschiedene Lösungen haben.
-	Note: If we mark these solutions on the complex number plane, we see that they are corners in a regular quadrilateral.	+
	[[Image:3_3_2_a.gif|center]]		[[Image:3_3_2_a.gif|center]]

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Aktuelle Version

Eine Gleichung der Form "\displaystyle z^{n} = \text{Eine komplexe Zahl}" löst man, indem man alle Zahlen in Polarform bringt und den Moivreschen Satz benutzt.

Wir bringen zuerst \displaystyle z und \displaystyle 1 in Polarform

\displaystyle \begin{align} z &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt] 1 &= 1(\cos 0 + i\sin 0)\,\textrm{.} \end{align}

Wir erhalten die Gleichung

\displaystyle r^4(\cos 4\alpha + i\sin 4\alpha) = 1\,(\cos 0 + i\sin 0)\,,

wobei wir den Moivreschen Satz auf der linken Seite benutzt haben. Damit die rechte und die linke Seite gleich sind, müssen deren Beträge gleich sein und auch deren Argumente dürfen sich nur durch ein Vielfaches von \displaystyle 2\pi unterscheiden

\displaystyle \left\{\begin{align} r^{4} &= 1\,,\\[5pt] 4\alpha &= 0+2n\pi\,,\quad (\text{n ist eine beliebige ganze Zahl})\textrm{.} \end{align}\right.

Also ist

\displaystyle \left\{\begin{align} r &= 1\,,\\[5pt] \alpha &= \frac{n\pi}{2}\,,\quad \text{(n ist eine beliebige ganze Zahl).} \end{align}\right.

Und die Wurzeln sind

\displaystyle z = 1\cdot\Bigl(\cos\frac{n\pi}{2} + i\sin\frac{n\pi}{2}\Bigr)\,,\quad\text{für }n=0, 1, 2, 3.

Wir erhalten aber nur vier unterschiedliche Winkel, nämlich \displaystyle 0, \displaystyle \pi/2, \displaystyle \pi und \displaystyle 3\pi/2, da jeder anderer Winkel sich nur durch ein Vielfaches von \displaystyle 2\pi\, von diesen Winkeln unterscheidet.

Die Wurzeln sind daher

\displaystyle z=\left\{\begin{align} &1\cdot(\cos 0 + i\sin 0)\,,\\[5pt] &1\cdot(\cos (\pi/2) + i\sin (\pi/2))\,,\\[5pt] &1\cdot(\cos \pi + i\sin \pi)\,,\\[5pt] &1\cdot(\cos (3\pi/2) + i\sin (3\pi/2))\,, \end{align}\right. = \left\{ \begin{align} 1\,,&\\[5pt] i\,,&\\[5pt] -1\,,&\\[5pt] -i\,\textrm{.}& \end{align}\right.

Wir sehen, dass die Lösungen ein Quadrat bilden, wie wir es erwarten, da wir 4 verschiedene Lösungen haben.