Lösung 3.2:5c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Geometrically, the multiplication of two complex numbers means that there magnitudes are multiplied and their arguments are added. The product <math>(\sqrt{3}+i)(1-i)</math> therefore has an argument which is the sum of the argument for the <math>\sqrt{3}+i</math> and <math>1-i</math>, i.e.
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Geometrisch ist das Argument von einem Produkt die Summe der Argumente der beiden Faktoren bzw. Terme. Also ist das Argument von <math>(\sqrt{3}+i)(1-i)</math> die Summe der Argumente von <math>\sqrt{3}+i</math> und <math>1-i</math>,
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{{Displayed math||<math>\arg \bigl((\sqrt{3}+i)(1-i)\bigr) = \arg (\sqrt{3}+i) + \arg (1-i)\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\arg \bigl((\sqrt{3}+i)(1-i)\bigr) = \arg (\sqrt{3}+i) + \arg (1-i)\,\textrm{.}</math>}}
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By drawing the factors in the complex plane, we can determine relatively easily the argument using simple trigonometry.
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Indem wir die Faktoren in der komplexen Zahlenebene einzeichnen, können wir deren Argumente durch Trigonometrie berechnen.
[[Image:3_2_5_c.gif|center]]
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(Because <math>1-i</math> lies in the fourth quadrant, the argument equals
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(Da <math>1-i</math> im vierten Quadrant liegt, ist das Argument
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<math>-\beta</math> and not <math>\beta</math>.)
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<math>-\beta</math> und nicht <math>\beta</math>.)
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Hence,
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Daher erhalten wir,
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{{Displayed math||<math>\arg \bigl((\sqrt{3}+i)(1-i)\bigr) = \arg (\sqrt{3}+i) + \arg (1-i) = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{12}\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\arg \bigl((\sqrt{3}+i)(1-i)\bigr) = \arg (\sqrt{3}+i) + \arg (1-i) = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{12}\,\textrm{.}</math>}}
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Note: If you prefer to give the argument between <math>0</math> and <math>2\pi </math>, then the answer is
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Hinweis: Wenn wir das Argument als einen Winkel zwischen <math>0</math> und <math>2\pi </math> schreiben, ist die Antwort
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{{Displayed math||<math>-\frac{\pi}{12}+2\pi = \frac{-\pi+24\pi}{12} = \frac{23\pi}{12}\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>-\frac{\pi}{12}+2\pi = \frac{-\pi+24\pi}{12} = \frac{23\pi}{12}\,\textrm{.}</math>}}

Aktuelle Version

Geometrisch ist das Argument von einem Produkt die Summe der Argumente der beiden Faktoren bzw. Terme. Also ist das Argument von \displaystyle (\sqrt{3}+i)(1-i) die Summe der Argumente von \displaystyle \sqrt{3}+i und \displaystyle 1-i,

\displaystyle \arg \bigl((\sqrt{3}+i)(1-i)\bigr) = \arg (\sqrt{3}+i) + \arg (1-i)\,\textrm{.}

Indem wir die Faktoren in der komplexen Zahlenebene einzeichnen, können wir deren Argumente durch Trigonometrie berechnen.

(Da \displaystyle 1-i im vierten Quadrant liegt, ist das Argument \displaystyle -\beta und nicht \displaystyle \beta.)

Daher erhalten wir,

\displaystyle \arg \bigl((\sqrt{3}+i)(1-i)\bigr) = \arg (\sqrt{3}+i) + \arg (1-i) = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{12}\,\textrm{.}


Hinweis: Wenn wir das Argument als einen Winkel zwischen \displaystyle 0 und \displaystyle 2\pi schreiben, ist die Antwort

\displaystyle -\frac{\pi}{12}+2\pi = \frac{-\pi+24\pi}{12} = \frac{23\pi}{12}\,\textrm{.}
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