Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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-	We can discern two factors in the integrand, <math>x</math> and <math>\ln x</math>. If we are thinking about using integration by parts, then one factor should be integrated and the other differentiated. It can seem attractive to choose to differentiate <math>x</math> because then it will become equal to 1, but then we have the problem of determining a primitive function for <math>\ln x</math> (how is that done?). Instead, a more successful way is to integrate <math>x</math> and to differentiate <math>\ln x</math>,	+	Ein erster Gedanke ist hier, dass wir <math>x</math> ableiten, sodass wir nur eine Konstante haben. Dabei bleibt uns aber das Problem, eine Stammfunktion für <math>\ln x</math> zu finden. Stattdessen integrieren wir <math>x</math> und leiten <math>\ln x</math> ab.
-	{{Displayed math||<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
	\int x\cdot\ln x\,dx		\int x\cdot\ln x\,dx
	&= \frac{x^2}{2}\cdot\ln x - \int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx\\[5pt]		&= \frac{x^2}{2}\cdot\ln x - \int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx\\[5pt]
	&= \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\int x\,dx\\[5pt]		&= \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\int x\,dx\\[5pt]
	&= \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\cdot\frac{x^2}{2} + C\\[5pt]		&= \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\cdot\frac{x^2}{2} + C\\[5pt]
-	&= \frac{x^2}{2}\bigl(\ln x-\tfrac{1}{2}\bigr) + C\,\textrm{.}	+	&= \frac{x^2}{2}\bigl(\ln x-\tfrac{1}{2}\bigr) + C
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}
-	Thus, how one should choose the factors in an integration by parts is very dependent on the situation and there are no simple rules.	+	Wie man die Faktoren wählt, ist also sehr unterschiedlich und es gibt leider keine allgemeinen Regeln.

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Aktuelle Version

Ein erster Gedanke ist hier, dass wir \displaystyle x ableiten, sodass wir nur eine Konstante haben. Dabei bleibt uns aber das Problem, eine Stammfunktion für \displaystyle \ln x zu finden. Stattdessen integrieren wir \displaystyle x und leiten \displaystyle \ln x ab.

\displaystyle \begin{align} \int x\cdot\ln x\,dx &= \frac{x^2}{2}\cdot\ln x - \int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx\\[5pt] &= \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\int x\,dx\\[5pt] &= \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\cdot\frac{x^2}{2} + C\\[5pt] &= \frac{x^2}{2}\bigl(\ln x-\tfrac{1}{2}\bigr) + C \end{align}

Wie man die Faktoren wählt, ist also sehr unterschiedlich und es gibt leider keine allgemeinen Regeln.