Lösung 2.3:1a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Aktuelle Version (13:54, 27. Aug. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
 
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The formula for integration by parts reads
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Die Formel für partielle Integration lautet
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{{Displayed math||<math>\int f(x)g(x)\,dx = F(x)g(x) - \int F(x)g'(x)\,dx\,,</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\int f(x)g(x)\,dx = F(x)g(x) - \int F(x)g'(x)\,dx\,,</math>}}
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where <math>F(x)</math> is a primitive function of <math>f(x)</math> and <math>g'(x)</math> is a derivative of <math>g(x)</math>.
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wobei <math>F(x)</math> eine Stammfunktion von <math>f(x)</math> ist und <math>g'(x)</math> die Ableitung von <math>g(x)</math> ist.
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If we are to use integration by parts, the integrand has to be divided up into two factors, a factor <math>f(x)</math> which we integrate and a factor <math>g(x)</math> which we differentiate. It is only when the product <math>F(x)g'(x)</math>
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Um das Integral mit partieller Integration zu berechnen, müssen wir den Integrand in die zwei Faktoren <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> aufteilen. Wenn wir die Aufteilung machen, wollen wir, dass das Produkt <math>F(x)g'(x)</math> einfacher zu integrieren ist als <math>f(x)g(x)</math>, sonst wäre die partielle Integration sinnlos.
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becomes simpler than <math>f(x)g(x)</math> that there is any point in integrating by parts.
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In the integral
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Im Integral
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{{Displayed math||<math>\int 2xe^{-x}\,dx\,,</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\int 2xe^{-x}\,dx</math>}}
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it can seem appropriate to choose <math>f(x)=e^{-x}</math> and <math>g(x) = 2x</math>, because then <math>g'(x) = 2</math> and we have only <math>F(x) = -e^{-x}</math> left,
+
ist es sinnvoll <math>f(x)=e^{-x}</math> und <math>g(x) = 2x</math> zu wählen, da dann <math>g'(x) = 2</math> und <math>F(x) = -e^{-x}</math>, deren Produkte wir einfach integrieren können.
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{{Displayed math||<math>\begin{align}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
\int 2x\cdot e^{-x}\,dx
\int 2x\cdot e^{-x}\,dx
&= 2x\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr) - \int 2\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr)\,dx\\[5pt]
&= 2x\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr) - \int 2\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr)\,dx\\[5pt]
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
It remains only to integrate <math>e^{-x}</math> and we are finished,
+
Schließlich müssen wir nur noch das Integral <math>e^{-x}</math> berechnen.
-
{{Displayed math||<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
\phantom{\int 2x\cdot e^{-x}\,dx}{}
\phantom{\int 2x\cdot e^{-x}\,dx}{}
&= \rlap{-2xe^{-x} + 2\bigl(-e^{-x}\bigr) + C}\phantom{2x\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr) - \int 2\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr)\,dx}\\[5pt]
&= \rlap{-2xe^{-x} + 2\bigl(-e^{-x}\bigr) + C}\phantom{2x\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr) - \int 2\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr)\,dx}\\[5pt]
&= -2xe^{-x} - 2e^{-x} + C\\[5pt]
&= -2xe^{-x} - 2e^{-x} + C\\[5pt]
-
&= -2(x+1)e^{-x} + C\,\textrm{.}
+
&= -2(x+1)e^{-x} + C
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}

Aktuelle Version

Die Formel für partielle Integration lautet

\displaystyle \int f(x)g(x)\,dx = F(x)g(x) - \int F(x)g'(x)\,dx\,,

wobei \displaystyle F(x) eine Stammfunktion von \displaystyle f(x) ist und \displaystyle g'(x) die Ableitung von \displaystyle g(x) ist.

Um das Integral mit partieller Integration zu berechnen, müssen wir den Integrand in die zwei Faktoren \displaystyle f(x) und \displaystyle g(x) aufteilen. Wenn wir die Aufteilung machen, wollen wir, dass das Produkt \displaystyle F(x)g'(x) einfacher zu integrieren ist als \displaystyle f(x)g(x), sonst wäre die partielle Integration sinnlos.

Im Integral

\displaystyle \int 2xe^{-x}\,dx

ist es sinnvoll \displaystyle f(x)=e^{-x} und \displaystyle g(x) = 2x zu wählen, da dann \displaystyle g'(x) = 2 und \displaystyle F(x) = -e^{-x}, deren Produkte wir einfach integrieren können.

\displaystyle \begin{align}

\int 2x\cdot e^{-x}\,dx &= 2x\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr) - \int 2\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr)\,dx\\[5pt] &= -2xe^{-x} + 2\int e^{-x}\,dx\,\textrm{.} \end{align}

Schließlich müssen wir nur noch das Integral \displaystyle e^{-x} berechnen.

\displaystyle \begin{align}

\phantom{\int 2x\cdot e^{-x}\,dx}{} &= \rlap{-2xe^{-x} + 2\bigl(-e^{-x}\bigr) + C}\phantom{2x\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr) - \int 2\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr)\,dx}\\[5pt] &= -2xe^{-x} - 2e^{-x} + C\\[5pt] &= -2(x+1)e^{-x} + C \end{align}

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