Lösung 2.2:4d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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The integral can be simplified by a so-called polynomial division. We add and take away 1 in the numerator and can thus eliminate the <math>x^2</math>-term from the numerator
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Der Integrand kann durch Polynomdivision vereinfacht werden. Wir addieren und subtrahieren 1 vom Zähler und erhalten so
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{{Displayed math||<math>\frac{x^2}{x^{2}+1} = \frac{x^2+1-1}{x^2+1} = \frac{x^2+1}{x^2+1} - \frac{1}{x^2+1} = 1-\frac{1}{x^2+1}\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x^2}{x^{2}+1} = \frac{x^2+1-1}{x^2+1} = \frac{x^2+1}{x^2+1} - \frac{1}{x^2+1} = 1-\frac{1}{x^2+1}\,\textrm{.}</math>}}
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Thus, we have
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Daher ist
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{{Displayed math||<math>\int\frac{x^2}{x^2+1}\,dx = \int\Bigl(1-\frac{1}{x^2+1} \Bigr)\,dx = x-\arctan x+C\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\int\frac{x^2}{x^2+1}\,dx = \int\Bigl(1-\frac{1}{x^2+1} \Bigr)\,dx = x-\arctan x+C\,\textrm{.}</math>}}

Aktuelle Version

Der Integrand kann durch Polynomdivision vereinfacht werden. Wir addieren und subtrahieren 1 vom Zähler und erhalten so

\displaystyle \frac{x^2}{x^{2}+1} = \frac{x^2+1-1}{x^2+1} = \frac{x^2+1}{x^2+1} - \frac{1}{x^2+1} = 1-\frac{1}{x^2+1}\,\textrm{.}

Daher ist

\displaystyle \int\frac{x^2}{x^2+1}\,dx = \int\Bigl(1-\frac{1}{x^2+1} \Bigr)\,dx = x-\arctan x+C\,\textrm{.}
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