Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

Version vom 14:23, 28. Okt. 2008 (bearbeiten) Tek (Diskussion | Beiträge) K ← Zum vorherigen Versionsunterschied		Aktuelle Version (12:40, 27. Aug. 2009) (bearbeiten) (rückgängig) Sekretariat1 (Diskussion | Beiträge)
(Der Versionsvergleich bezieht 4 dazwischen liegende Versionen mit ein.)
Zeile 1:		Zeile 1:
-	It is simpler to investigate the integral if we write it as	+	Wir schreiben zuerst das Integral als
-	{{Displayed math||<math>\int \ln x\cdot\frac{1}{x}\,dx\,,</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>\int \ln x\cdot\frac{1}{x}\,dx\,.</math>}}
-	The derivative of <math>\ln x</math> is <math>1/x</math>, so if we choose <math>u = \ln x</math>, the integral can be expressed as	+	Die Ableitung von <math>\ln x</math> ist <math>1/x</math>. Wir substituieren <math>u = \ln x</math> und erhalten so
-	{{Displayed math||<math>\int u\cdot u'\,dx\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>\int u\cdot u'\,dx\,\textrm{.}</math>}}
-	Thus, it seems that <math>u=\ln x</math> is a useful substitution,	+	Also ist dies eine gute Substitution. Weiterhin erhalten wir
-	{{Displayed math||<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
	\int \ln x\cdot\frac{1}{x}\,dx		\int \ln x\cdot\frac{1}{x}\,dx
	&= \left\{\begin{align}		&= \left\{\begin{align}

---

Aktuelle Version

Wir schreiben zuerst das Integral als

\displaystyle \int \ln x\cdot\frac{1}{x}\,dx\,.

Die Ableitung von \displaystyle \ln x ist \displaystyle 1/x. Wir substituieren \displaystyle u = \ln x und erhalten so

\displaystyle \int u\cdot u'\,dx\,\textrm{.}

Also ist dies eine gute Substitution. Weiterhin erhalten wir

\displaystyle \begin{align} \int \ln x\cdot\frac{1}{x}\,dx &= \left\{\begin{align} u &= \ln x\\[5pt] du &= (\ln x)'\,dx = (1/x)\,dx \end{align}\right\}\\[5pt] &= \int u\,du\\[5pt] &= \frac{1}{2}u^{2} + C\\[5pt] &= \frac{1}{2}(\ln x)^2 + C\,\textrm{.} \end{align}