Lösung 2.2:2c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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If we focus on the integrand, then the substitution <math>u=3x+1</math> seems suitable, since we then get <math>\sqrt{u}</math> which we can integrate. There is also no risk involved in using a linear substitution such as <math>u=3x+1</math>, because the relation between <math>dx</math> and <math>du</math> will be a constant factor,
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Die Substitution <math>u=3x+1</math> ergibt einen einfacheren Integrand. Da <math>u=3x+1</math> eine lineare Funktion ist, ist das Verhältnis zwischen <math>dx</math> und <math>du</math> nur eine Konstante.
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{{Displayed math||<math>du = (3x+1)'\,dx = 3\,dx\,,</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>du = (3x+1)'\,dx = 3\,dx</math>}}
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which does not cause any problems.
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Wir erhalten
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We obtain
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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{{Displayed math||<math>\begin{align}
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\int\limits_0^5 \sqrt{3x+1}\,dx
\int\limits_0^5 \sqrt{3x+1}\,dx
&= \left\{\begin{align}
&= \left\{\begin{align}

Aktuelle Version

Die Substitution \displaystyle u=3x+1 ergibt einen einfacheren Integrand. Da \displaystyle u=3x+1 eine lineare Funktion ist, ist das Verhältnis zwischen \displaystyle dx und \displaystyle du nur eine Konstante.

\displaystyle du = (3x+1)'\,dx = 3\,dx

Wir erhalten

\displaystyle \begin{align}

\int\limits_0^5 \sqrt{3x+1}\,dx &= \left\{\begin{align} u &= 3x+1\\[5pt] du &= 3\,dx \end{align}\right\} = \frac{1}{3}\int\limits_1^{16} \sqrt{u}\,du\\[5pt] &= \frac{1}{3}\int\limits_1^{16} u^{1/2}\,du = \frac{1}{3}\biggl[\ \frac{u^{1/2+1}}{\tfrac{1}{2}+1}\ \biggr]_1^{16}\\[5pt] &= \frac{1}{3}\Bigl[\ \frac{2}{3}u\sqrt{u}\ \Bigr]_1^{16} = \frac{2}{9}\bigl( 16\sqrt{16}-1\sqrt{1} \bigr)\\[8pt] &= \frac{2}{9}\bigl( 16\cdot 4-1 \bigr) = \frac{2\cdot 63}{9} = 14\,\textrm{.} \end{align}

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