Lösung 3.3:5d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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-
Let us first divide both sides by
+
Zuerst dividieren wir beide Seiten durch <math>4+i</math>, sodass der Koeffizient von <math>z^2</math> dann 1 ist.
-
<math>4+i</math>, so that the coefficient in front of
+
-
<math>z^{2}</math>
+
-
becomes
+
-
<math>\text{1}</math>,
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>z^2 + \frac{1-21i}{4+i}z = \frac{17}{4+i}</math>}}
-
<math>z^{2}+\frac{1-21i}{4+i}z=\frac{17}{4+i}</math>
+
Die beiden komplexen Brüche sind
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\frac{1-21i}{4+i}
 +
&= \frac{(1-21i)(4-i)}{(4+i)(4-i)}
 +
= \frac{4-i-84i+21i^2}{4^2-i^2}\\[5pt]
 +
&= \frac{-17-85i}{16+1}
 +
= \frac{-17-85i}{17}
 +
= -1-5i\,,\\[10pt]
 +
\frac{17}{4+i}
 +
&= \frac{17(4-i)}{(4+i)(4-i)}
 +
= \frac{17(4-i)}{4^2-i^2}\\[5pt]
 +
&= \frac{17(4-i)}{17}
 +
= 4-i\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
-
The two complex quotients become
+
Die Gleichung ist daher
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>z^2 - (1+5i)z = 4-i\,\textrm{.}</math>}}
-
<math>\begin{align}
+
Durch quadratische Ergänzung der linken Seite erhalten wir
-
& \frac{\left( 1-21i \right)\left( 4-i \right)}{\left( 4+i \right)\left( 4-i \right)}=\frac{4-i-84i+21i^{2}}{4^{2}-i^{2}} \\
+
-
& =\frac{-17-85i}{16+1}=\frac{-17-85i}{17}=-1-5i \\
+
-
\end{align}</math>
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\Bigl(z-\frac{1+5i}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1+5i}{2}\Bigr)^2 &= 4-i\\[5pt]
 +
\Bigl(z-\frac{1+5i}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{4}+\frac{5}{2}\,i+\frac{25}{4}i^2 \Bigr) &= 4-i\\[5pt]
 +
\Bigl(z-\frac{1+5i}{2}\Bigr)^2 - \frac{1}{4} - \frac{5}{2}i + \frac{25}{4} &= 4-i \\[5pt]
 +
\Bigl(z-\frac{1+5i}{2}\Bigr)^2 &= -2+\frac{3}{2}\,i\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
 +
Lassen wir <math>w=z-\frac{1+5i}{2}</math> sein, erhalten wir die Gleichung
-
<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>w^2 = -2+\frac{3}{2}\,i</math> ,}}
-
& \frac{17}{4+i}=\frac{17\left( 4-i \right)}{\left( 4+i \right)\left( 4-i \right)}=\frac{17\left( 4-i \right)}{4^{2}-i^{2}} \\
+
-
& =\frac{17\left( 4-i \right)}{17}=4-i \\
+
-
\end{align}</math>
+
 +
die wir lösen, indem wir annehmen, dass <math>w=x+iy</math>
-
Thus, the equation becomes
+
{{Abgesetzte Formel||<math>(x+iy)^2 = -2+\frac{3}{2}\,i</math>}}
 +
oder, falls wir die linke Seite erweitern,
-
<math>z^{2}-\left( 1+5i \right)z=4-i</math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2-y^2+2xyi = -2+\frac{3}{2}\,i\,\textrm{.}</math>}}
 +
Identifizieren wir den Real- und Imaginärteil dieser Gleichung, erhalten wir
-
Now, we complete the square of the left-hand side:
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
x^2-y^2 &= -2\,,\\[5pt]
 +
2xy &= \frac{3}{2}\,.
 +
\end{align}</math>}}
 +
Berechnen wir den Betrag beider Seiten, erhalten wir eine dritte Gleichung
-
<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 + y^2 = \sqrt{(-2)^2+\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^2} = \tfrac{5}{2}\,\textrm{.}</math>}}
-
& \left( z-\frac{1+5i}{2} \right)^{2}-\left( \frac{1+5i}{2} \right)^{2}=4-i \\
+
-
& \left( z-\frac{1+5i}{2} \right)^{2}-\left( \frac{1}{4}+\frac{5}{2}i+\frac{25}{4}i^{2} \right)=4-i \\
+
-
& \left( z-\frac{1+5i}{2} \right)^{2}-\frac{1}{4}-\frac{5}{2}i+\frac{25}{4}=4-i \\
+
-
& \left( z-\frac{1+5i}{2} \right)^{2}=-2+\frac{3}{2}i \\
+
-
\end{align}</math>
+
 +
Diese neue Gleichung ist durch die beiden ersten Gleichungen erfüllt und wir brauchen sie eigentlich nicht, aber die Rechnungen werden einfacher.
-
If we set
+
Wir erhalten die Gleichungen
-
<math>w=z-\frac{1+5i}{2}</math>, we have a binomial equation in
+
-
<math>w</math>,
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
 +
x^2-y^2 &= -2\,,\\[5pt]
 +
2xy &= \frac{3}{2}\,,\\[5pt]
 +
x^2 + y^2 &= \frac{5}{2}\,\textrm{.}
 +
\end{align} \right.</math>}}
-
<math>w^{2}=-2+\frac{3}{2}i</math>
+
Von der ersten und der dritten Gleichung können wir leicht <math>x</math> und <math>y</math> lösen.
-
+
Wir addieren zuerst die erste Gleichung zur dritten
-
which we solve by putting
+
{| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;"
-
<math>w=x+iy\text{ }</math>,
+
||
 +
|align="right"|<math>x^2</math>
 +
||<math>{}-{}</math>
 +
|align="right"|<math>y^2</math>
 +
||<math>{}={}</math>
 +
|align="right"|<math>-2</math>
 +
|-
 +
|align="left"|<math>+\ \ </math>
 +
|align="right"|<math>x^2</math>
 +
||<math>{}+{}</math>
 +
||<math>y^2</math>
 +
||<math>{}={}</math>
 +
|align="right"|<math>\tfrac{5}{2}</math>
 +
|-
 +
|colspan="6"|<hr>
 +
|-
 +
||
 +
|align="right"|<math>2x^2</math>
 +
||
 +
||
 +
||<math>{}={}</math>
 +
|align="right"|<math>\tfrac{1}{2}</math>
 +
|}
 +
und wir erhalten <math>x=\pm \tfrac{1}{2}</math>.
-
<math>\left( x+iy \right)^{2}=-2+\frac{3}{2}i</math>
+
Jetzt subtrahieren wir die erste Gleichung von der dritten
 +
{| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;"
 +
||
 +
|align="right"|<math>x^2</math>
 +
||<math>{}+{}</math>
 +
|align="right"|<math>y^2</math>
 +
||<math>{}={}</math>
 +
|align="right"|<math>\tfrac{5}{2}</math>
 +
|-
 +
|align="left"|<math>-\ \ </math>
 +
|align="right"|<math>\bigl(x^2</math>
 +
||<math>{}-{}</math>
 +
|align="right"|<math>y^2</math>
 +
||<math>{}={}</math>
 +
|align="right"|<math>-2\rlap{\bigr)}</math>
 +
|-
 +
|colspan="6"|<hr>
 +
|-
 +
||
 +
||
 +
||
 +
|align="right"|<math>2y^2</math>
 +
||<math>{}={}</math>
 +
|align="right"|<math>\tfrac{9}{2}</math> ,
 +
|}
 +
also <math>y=\pm\tfrac{3}{2}</math>.
-
or, if the left-hand side is expanded,
+
Dies ergibt vier mögliche Lösungen
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
 +
x &= \tfrac{1}{2}\\[5pt]
 +
y &= \tfrac{3}{2}
 +
\end{align}\right.
 +
\qquad
 +
\left\{\begin{align}
 +
x &= \tfrac{1}{2}\\[5pt]
 +
y &= -\tfrac{3}{2}
 +
\end{align}\right.
 +
\qquad
 +
\left\{\begin{align}
 +
x &= -\tfrac{1}{2}\\[5pt]
 +
y &= \tfrac{3}{2}
 +
\end{align}\right.
 +
\qquad
 +
\left\{\begin{align}
 +
x &= -\tfrac{1}{2}\\[5pt]
 +
y &= -\tfrac{3}{2}
 +
\end{align} \right.</math>,}}
-
<math>x^{2}-y^{2}+2xyi=-2+\frac{3}{2}i</math>
+
von welchen nur zwei die ursprüngliche Gleichung erfüllen.
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
 +
x &= \tfrac{1}{2}\\[5pt]
 +
y &= \tfrac{3}{2}
 +
\end{align}\right.
 +
\qquad\text{und}\qquad
 +
\left\{\begin{align}
 +
x &= -\tfrac{1}{2}\\[5pt]
 +
y &= -\tfrac{3}{2}
 +
\end{align}\right.</math>.}}
-
If we identify the real and imaginary parts on both sides, we get
+
Also erhalten wir die Lösungen
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>w=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\,i\qquad</math> und <math>\qquad w=-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\,i</math>}}
-
<math>\begin{align}
+
und die ursprüngliche Gleichung hat die Lösungen
-
& x^{2}-y^{2}=-2 \\
+
-
& 2xy=\frac{3}{2} \\
+
-
\end{align}</math>
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>z=1+4i\qquad</math> und <math>\qquad z=i</math>}}
-
and if we take the magnitude of both sides and put them equal to each other, we obtain a third relation:
+
durch die Formel <math>w=z-\frac{1+5i}{2}</math>.
-
 
+
-
 
+
-
<math>x^{2}+y^{2}=\sqrt{\left( -2 \right)^{2}+\left( \frac{3}{2} \right)^{2}}=\frac{5}{2}</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
Strictly speaking, this last relation is contained within the first two and we include it because makes the calculations easier.
+
-
 
+
-
Together, the three relations constitute the following system of equations:
+
-
 
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\left\{ \begin{array}{*{35}l}
+
-
\ x^{2}-y^{2}=2 \\
+
-
\ 2xy=-\frac{3}{2} \\
+
-
\ x^{2}+y^{2}=\frac{5}{2} \\
+
-
\end{array} \right.</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
 
+
-
From the first and the third equations, we can relatively easily obtain the values that
+
-
<math>x</math>
+
-
and
+
-
<math>y</math>
+
-
can take.
+
-
 
+
-
Add the first and third equations,
+
-
 
+
-
EQ1
+
-
 
+
-
which gives that
+
-
<math>x=\pm \frac{1}{2}</math>.
+
-
 
+
-
Then, subtract the first equation from the third equation,
+
-
 
+
-
EQ13
+
-
 
+
-
i.e.
+
-
<math>y=\pm \frac{3}{2}</math>.
+
-
 
+
-
This gives four possible combinations,
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\left\{ \begin{array}{*{35}l}
+
-
x=\frac{1}{2} \\
+
-
y=\frac{3}{2} \\
+
-
\end{array} \right.\quad \left\{ \begin{array}{*{35}l}
+
-
x=\frac{1}{2} \\
+
-
y=-\frac{3}{2} \\
+
-
\end{array} \right.\quad \left\{ \begin{array}{*{35}l}
+
-
x=-\frac{1}{2} \\
+
-
y=\frac{3}{2} \\
+
-
\end{array} \right.\quad \left\{ \begin{array}{*{35}l}
+
-
x=-\frac{1}{2} \\
+
-
y=-\frac{3}{2} \\
+
-
\end{array} \right.</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
of which only two also satisfy the second equation.
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\left\{ \begin{array}{*{35}l}
+
-
x=\frac{1}{2} \\
+
-
y=\frac{3}{2} \\
+
-
\end{array} \right.\quad \quad \text{and}\quad \quad \left\{ \begin{array}{*{35}l}
+
-
x=-\frac{1}{2} \\
+
-
y=-\frac{3}{2} \\
+
-
\end{array} \right.</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
This means that the binomial equation has the two solutions,
+
-
 
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>w=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i</math>
+
-
and
+
-
<math>w=\frac{1}{-2}-\frac{3}{2}i</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
and that the original equation has the solutions
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>z=1+4i</math>
+
-
and
+
-
<math>z=i</math>
+
-
 
+
-
according to the relation
+
-
<math>w=z-\frac{1+5i}{2}</math>.
+
-
 
+
-
Finally, we check that the solutions really do satisfy the equation.
+
-
 
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\begin{align}
+
-
& 1+4i:\quad \left( 4+i \right)z^{2}+\left( 1-21i \right)z \\
+
-
& =\left( 4+i \right)\left( 1+4i \right)^{2}+\left( 1-21i \right)\left( 1+4i \right) \\
+
-
& =\left( 4+i \right)\left( 1+8i+16i^{2} \right)+\left( 1+4i-21i-84i^{2} \right) \\
+
-
& =\left( 4+i \right)\left( -15+8i \right)+1-17i+84 \\
+
-
& =-60+32i-15i+8i^{2}+1-17i+84 \\
+
-
& =-60+32i-15i-8+1-17i+84=17 \\
+
-
\end{align}</math>
+
-
 
+
 +
Zuletzt kontrollieren wir, ob unsere Lösungen die ursprüngliche Gleichung erfüllen
<math>\begin{align}
<math>\begin{align}
-
& z=i:\quad \left( 4+i \right)z^{2}+\left( 1-21i \right)z \\
+
z=1+4i:\quad (4+i)z^2+(1-21i)z
-
& =\left( 4+i \right)i^{2}+\left( 1-21i \right)i \\
+
&= (4+i)(1+4i)^2+(1-21i)(1+4i)\\[5pt]
-
& =\left( 4+i \right)\left( -1 \right)+i-21i^{2} \\
+
&= (4+i)(1+8i+16i^2)+(1+4i-21i-84i^2)\\[5pt]
-
& =-4-i+i+21=17 \\
+
&= (4+i)(-15+8i)+1-17i+84\\[5pt]
 +
&= -60+32i-15i+8i^2+1-17i+84\\[5pt]
 +
&= -60+32i-15i-8+1-17i+84\\[5pt]
 +
&= 17\,,\\[10pt]
 +
z={}\rlap{i:}\phantom{1+4i:}{}\quad (4+i)z^2+(1-21i)z
 +
&= (4+i)i^2 + (1-21i)i\\[5pt]
 +
&= (4+i)(-1)+i-21i^2\\[5pt]
 +
&= -4-i+i+21\\[5pt]
 +
&= 17\,\textrm{.}
\end{align}</math>
\end{align}</math>

Aktuelle Version

Zuerst dividieren wir beide Seiten durch \displaystyle 4+i, sodass der Koeffizient von \displaystyle z^2 dann 1 ist.

\displaystyle z^2 + \frac{1-21i}{4+i}z = \frac{17}{4+i}

Die beiden komplexen Brüche sind

\displaystyle \begin{align}

\frac{1-21i}{4+i} &= \frac{(1-21i)(4-i)}{(4+i)(4-i)} = \frac{4-i-84i+21i^2}{4^2-i^2}\\[5pt] &= \frac{-17-85i}{16+1} = \frac{-17-85i}{17} = -1-5i\,,\\[10pt] \frac{17}{4+i} &= \frac{17(4-i)}{(4+i)(4-i)} = \frac{17(4-i)}{4^2-i^2}\\[5pt] &= \frac{17(4-i)}{17} = 4-i\,\textrm{.} \end{align}

Die Gleichung ist daher

\displaystyle z^2 - (1+5i)z = 4-i\,\textrm{.}

Durch quadratische Ergänzung der linken Seite erhalten wir

\displaystyle \begin{align}

\Bigl(z-\frac{1+5i}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1+5i}{2}\Bigr)^2 &= 4-i\\[5pt] \Bigl(z-\frac{1+5i}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{4}+\frac{5}{2}\,i+\frac{25}{4}i^2 \Bigr) &= 4-i\\[5pt] \Bigl(z-\frac{1+5i}{2}\Bigr)^2 - \frac{1}{4} - \frac{5}{2}i + \frac{25}{4} &= 4-i \\[5pt] \Bigl(z-\frac{1+5i}{2}\Bigr)^2 &= -2+\frac{3}{2}\,i\,\textrm{.} \end{align}

Lassen wir \displaystyle w=z-\frac{1+5i}{2} sein, erhalten wir die Gleichung

\displaystyle w^2 = -2+\frac{3}{2}\,i ,

die wir lösen, indem wir annehmen, dass \displaystyle w=x+iy

\displaystyle (x+iy)^2 = -2+\frac{3}{2}\,i

oder, falls wir die linke Seite erweitern,

\displaystyle x^2-y^2+2xyi = -2+\frac{3}{2}\,i\,\textrm{.}

Identifizieren wir den Real- und Imaginärteil dieser Gleichung, erhalten wir

\displaystyle \begin{align}

x^2-y^2 &= -2\,,\\[5pt] 2xy &= \frac{3}{2}\,. \end{align}

Berechnen wir den Betrag beider Seiten, erhalten wir eine dritte Gleichung

\displaystyle x^2 + y^2 = \sqrt{(-2)^2+\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^2} = \tfrac{5}{2}\,\textrm{.}

Diese neue Gleichung ist durch die beiden ersten Gleichungen erfüllt und wir brauchen sie eigentlich nicht, aber die Rechnungen werden einfacher.

Wir erhalten die Gleichungen

\displaystyle \left\{\begin{align}

x^2-y^2 &= -2\,,\\[5pt] 2xy &= \frac{3}{2}\,,\\[5pt] x^2 + y^2 &= \frac{5}{2}\,\textrm{.} \end{align} \right.

Von der ersten und der dritten Gleichung können wir leicht \displaystyle x und \displaystyle y lösen.

Wir addieren zuerst die erste Gleichung zur dritten

\displaystyle x^2 \displaystyle {}-{} \displaystyle y^2 \displaystyle {}={} \displaystyle -2
\displaystyle +\ \ \displaystyle x^2 \displaystyle {}+{} \displaystyle y^2 \displaystyle {}={} \displaystyle \tfrac{5}{2}
\displaystyle 2x^2 \displaystyle {}={} \displaystyle \tfrac{1}{2}

und wir erhalten \displaystyle x=\pm \tfrac{1}{2}.

Jetzt subtrahieren wir die erste Gleichung von der dritten

\displaystyle x^2 \displaystyle {}+{} \displaystyle y^2 \displaystyle {}={} \displaystyle \tfrac{5}{2}
\displaystyle -\ \ \displaystyle \bigl(x^2 \displaystyle {}-{} \displaystyle y^2 \displaystyle {}={} \displaystyle -2\rlap{\bigr)}
\displaystyle 2y^2 \displaystyle {}={} \displaystyle \tfrac{9}{2} ,

also \displaystyle y=\pm\tfrac{3}{2}.

Dies ergibt vier mögliche Lösungen

\displaystyle \left\{\begin{align}

x &= \tfrac{1}{2}\\[5pt] y &= \tfrac{3}{2} \end{align}\right. \qquad \left\{\begin{align} x &= \tfrac{1}{2}\\[5pt] y &= -\tfrac{3}{2} \end{align}\right. \qquad \left\{\begin{align} x &= -\tfrac{1}{2}\\[5pt] y &= \tfrac{3}{2} \end{align}\right. \qquad \left\{\begin{align} x &= -\tfrac{1}{2}\\[5pt] y &= -\tfrac{3}{2} \end{align} \right.,

von welchen nur zwei die ursprüngliche Gleichung erfüllen.

\displaystyle \left\{\begin{align}

x &= \tfrac{1}{2}\\[5pt] y &= \tfrac{3}{2} \end{align}\right. \qquad\text{und}\qquad \left\{\begin{align} x &= -\tfrac{1}{2}\\[5pt] y &= -\tfrac{3}{2} \end{align}\right..

Also erhalten wir die Lösungen

\displaystyle w=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\,i\qquad und \displaystyle \qquad w=-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\,i

und die ursprüngliche Gleichung hat die Lösungen

\displaystyle z=1+4i\qquad und \displaystyle \qquad z=i

durch die Formel \displaystyle w=z-\frac{1+5i}{2}.

Zuletzt kontrollieren wir, ob unsere Lösungen die ursprüngliche Gleichung erfüllen

\displaystyle \begin{align} z=1+4i:\quad (4+i)z^2+(1-21i)z &= (4+i)(1+4i)^2+(1-21i)(1+4i)\\[5pt] &= (4+i)(1+8i+16i^2)+(1+4i-21i-84i^2)\\[5pt] &= (4+i)(-15+8i)+1-17i+84\\[5pt] &= -60+32i-15i+8i^2+1-17i+84\\[5pt] &= -60+32i-15i-8+1-17i+84\\[5pt] &= 17\,,\\[10pt] z={}\rlap{i:}\phantom{1+4i:}{}\quad (4+i)z^2+(1-21i)z &= (4+i)i^2 + (1-21i)i\\[5pt] &= (4+i)(-1)+i-21i^2\\[5pt] &= -4-i+i+21\\[5pt] &= 17\,\textrm{.} \end{align}

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_3.3:5d“