Lösung 3.3:5a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Even if the equation contains complex numbers as coefficients, we treat is as an ordinary second-degree equation and solve it by completing the square taking the root.
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Obwohl die Gleichung komplexe Koeffizienten enthält, können wir sie wie eine normale Gleichung betrachten, die wir mit quadratischer Ergänzung lösen.
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We complete the square on the left-hand side:
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Durch quadratischer Ergänzung der linken Seite erhalten wir
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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(z-(1+i))^2-(1+i)^2+2i-1 &= 0\\[5pt]
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(z-(1+i))^2-(1+2i+i^2)+2i-1&=0\\[5pt]
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(z-(1+i))^2-1-2i+1+2i-1 &= 0\\[5pt]
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(z-(1+i))^2-1 &= 0\,\textrm{.}
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\end{align}</math>}}
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<math>\begin{align}
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Wir erhalten die Wurzeln
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& \left( z-\left( 1+i \right) \right)^{2}-\left( 1+i \right)^{2}+2i-1=0 \\
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& \left( z-\left( 1+i \right) \right)^{2}-\left( 1+2i+i^{2} \right)+2i-1=0 \\
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& \left( z-\left( 1+i \right) \right)^{2}-1-2i+1+2i-1=0 \\
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& \left( z-\left( 1+i \right) \right)^{2}-1=0 \\
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\end{align}</math>
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Now, we see that the equation has the solutions
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<math>z-\left( 1+i \right)=\pm 1\quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{*{35}l}
+
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2+i \\
+
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i\text{ } \\
+
-
\end{array} \right.</math>
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We test the solutions:
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<math>\begin{align}
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& z=2+i:\quad z^{2}-2\left( 1+i \right)z+2i-1 \\
+
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& =\left( 2+i \right)^{2}-2\left( 1+i \right)\left( 2+i \right)+2i-1 \\
+
-
& =4+4i+i^{2}-2\left( 2+i+2i+i^{2} \right)+2i-1 \\
+
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& =4+4i-1-4-6i+2+2i-1=0 \\
+
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& \\
+
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\end{align}</math>
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>z-(1+i) = \pm 1\quad \Leftrightarrow \quad z=\left\{ \begin{align}
 +
&2+i\,,\\
 +
&i\,\textrm{.}
 +
\end{align}\right.</math>}}
 +
Wir substituieren die Wurzeln in der ursprünglichen Gleichung
<math>\begin{align}
<math>\begin{align}
-
& z=i:\quad z^{2}-2\left( 1+i \right)z+2i-1 \\
+
z=2+i:\quad z^2-2(1+i)z+2i-1
-
& =i^{2}-2\left( 1+i \right)i+2i-1 \\
+
&= (2+i)^2 - 2(1+i)(2+i)+2i-1\\[5pt]
-
& =-1-2\left( i+i^{2} \right)+2i-1 \\
+
&= 4+4i+i^2-2(2+i+2i+i^2)+2i-1\\[5pt]
-
& =-1-2i+2+2i-1=0 \\
+
&= 4+4i-1-4-6i+2+2i-1\\[5pt]
 +
&= 0\,,\\[10pt]
 +
z={}\rlap{i:}\phantom{2+i:}{}\quad z^2-2(1+i)z+2i-1
 +
&= i^2-2(1+i)i+2i-1\\[5pt]
 +
&= -1-2(i+i^2)+2i-1\\[5pt]
 +
&= -1-2i+2+2i-1\\[5pt]
 +
&= 0\,\textrm{.}
\end{align}</math>
\end{align}</math>

Aktuelle Version

Obwohl die Gleichung komplexe Koeffizienten enthält, können wir sie wie eine normale Gleichung betrachten, die wir mit quadratischer Ergänzung lösen.

Durch quadratischer Ergänzung der linken Seite erhalten wir

\displaystyle \begin{align}

(z-(1+i))^2-(1+i)^2+2i-1 &= 0\\[5pt] (z-(1+i))^2-(1+2i+i^2)+2i-1&=0\\[5pt] (z-(1+i))^2-1-2i+1+2i-1 &= 0\\[5pt] (z-(1+i))^2-1 &= 0\,\textrm{.} \end{align}

Wir erhalten die Wurzeln

\displaystyle z-(1+i) = \pm 1\quad \Leftrightarrow \quad z=\left\{ \begin{align}

&2+i\,,\\ &i\,\textrm{.} \end{align}\right.

Wir substituieren die Wurzeln in der ursprünglichen Gleichung

\displaystyle \begin{align} z=2+i:\quad z^2-2(1+i)z+2i-1 &= (2+i)^2 - 2(1+i)(2+i)+2i-1\\[5pt] &= 4+4i+i^2-2(2+i+2i+i^2)+2i-1\\[5pt] &= 4+4i-1-4-6i+2+2i-1\\[5pt] &= 0\,,\\[10pt] z={}\rlap{i:}\phantom{2+i:}{}\quad z^2-2(1+i)z+2i-1 &= i^2-2(1+i)i+2i-1\\[5pt] &= -1-2(i+i^2)+2i-1\\[5pt] &= -1-2i+2+2i-1\\[5pt] &= 0\,\textrm{.} \end{align}

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