Lösung 3.3:2a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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-
An equation of the type “
+
Eine Gleichung der Form "<math>z^{n} = \text{Eine komplexe Zahl}</math>" löst man, indem man alle Zahlen in Polarform bringt und den Moivreschen Satz benutzt.
-
<math>z^{n}</math>
+
-
= a complex number” is called a binomial equation and these are usually solved by going over to polar form and using de Moivre's formula.
+
-
We start by writing
+
Wir bringen zuerst <math>z</math> und <math>1</math> in Polarform
-
<math>z\text{ }</math>
+
-
and
+
-
<math>\text{1}</math>
+
-
in polar form
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
z &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt]
 +
1 &= 1(\cos 0 + i\sin 0)\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
-
<math>\begin{align}
+
Wir erhalten die Gleichung
-
& z=r\left( \cos \alpha +i\sin \alpha \right) \\
+
-
& 1=1\left( \cos 0+i\sin 0 \right) \\
+
-
\end{align}</math>
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>r^4(\cos 4\alpha + i\sin 4\alpha) = 1\,(\cos 0 + i\sin 0)\,,</math>}}
-
The equation then becomes
+
wobei wir den Moivreschen Satz auf der linken Seite benutzt haben. Damit die rechte und die linke Seite gleich sind, müssen deren Beträge gleich sein und auch deren Argumente dürfen sich nur durch ein Vielfaches von <math>2\pi</math> unterscheiden
-
 
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
-
<math>r^{4}\left( \cos 4\alpha +i\sin 4\alpha \right)=1\left( \cos 0+i\sin 0 \right)</math>
+
r^{4} &= 1\,,\\[5pt]
-
 
+
4\alpha &= 0+2n\pi\,,\quad (\text{n ist eine beliebige ganze Zahl})\textrm{.}
-
 
+
\end{align}\right.</math>}}
-
where we have used de Moivre's formula on the left-hand side. In order that both sides are equal, they must have the same magnitude and the same argument to within a multiple of
+
-
<math>2\pi </math>, i.e.
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\left\{ \begin{array}{*{35}l}
+
-
r^{4}=1 \\
+
-
4\alpha =0+2n\pi \quad \left( n\text{ an arbitrary integer} \right)\text{ } \\
+
-
\end{array} \right.</math>
+
-
This means that
+
Also ist
-
 
+
-
 
+
-
<math>\left\{ \begin{array}{*{35}l}
+
-
r=1 \\
+
-
\alpha =\frac{n\pi }{2}\quad \left( n\text{ an arbitrary integer} \right)\text{ } \\
+
-
\end{array} \right.</math>
+
-
 
+
-
The solutions are thus (in polar form)
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>z=1\centerdot \left( \cos \frac{n\pi }{2}+i\sin \frac{n\pi }{2} \right)</math>, for
+
-
<math>n=0,\ \pm 1,\ \pm 2,...</math>
+
-
 
+
-
but observe that the argument on the right-hand side essentially takes only four different values
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
-
<math>0,\ {\pi }/{2}\;,\ \pi </math>
+
r &= 1\,,\\[5pt]
-
and
+
\alpha &= \frac{n\pi}{2}\,,\quad \text{(n ist eine beliebige ganze Zahl).}
-
<math>{3\pi }/{2}\;</math>, because other values of
+
\end{align}\right.</math>}}
-
<math>n\text{ }</math>
+
-
give some of these values plus/minus a multiple of
+
-
<math>2\pi </math>.
+
-
The equation's solutions are therefore
+
Und die Wurzeln sind
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>z = 1\cdot\Bigl(\cos\frac{n\pi}{2} + i\sin\frac{n\pi}{2}\Bigr)\,,\quad\text{für }n=0, 1, 2, 3</math>.}}
-
<math>z=\left\{ \begin{array}{*{35}l}
+
Wir erhalten aber nur vier unterschiedliche Winkel, nämlich <math>0</math>, <math>\pi/2</math>, <math>\pi</math> und <math>3\pi/2</math>, da jeder anderer Winkel sich nur durch ein Vielfaches von <math>2\pi\,</math> von diesen Winkeln unterscheidet.
-
1\centerdot \left( \cos 0+i\sin 0 \right) \\
+
-
1\centerdot \left( \cos {\pi }/{2}\;+i\sin {\pi }/{2}\; \right) \\
+
-
1\centerdot \left( \cos \pi +i\sin \pi \right) \\
+
-
1\centerdot \left( \cos {3\pi }/{2}\;+i\sin {3\pi }/{2}\; \right) \\
+
-
\end{array} \right.=\left\{ \begin{matrix}
+
-
1 \\
+
-
i \\
+
-
-1 \\
+
-
-i \\
+
-
\end{matrix} \right.</math>
+
 +
Die Wurzeln sind daher
-
NOTE: note that if we mark these solutions on the complex number plane, we see that they are corners in a regular quadrilateral.
+
{{Abgesetzte Formel||<math>z=\left\{\begin{align}
 +
&1\cdot(\cos 0 + i\sin 0)\,,\\[5pt]
 +
&1\cdot(\cos (\pi/2) + i\sin (\pi/2))\,,\\[5pt]
 +
&1\cdot(\cos \pi + i\sin \pi)\,,\\[5pt]
 +
&1\cdot(\cos (3\pi/2) + i\sin (3\pi/2))\,,
 +
\end{align}\right.
 +
=
 +
\left\{ \begin{align}
 +
1\,,&\\[5pt]
 +
i\,,&\\[5pt]
 +
-1\,,&\\[5pt]
 +
-i\,\textrm{.}&
 +
\end{align}\right.</math>}}
 +
Wir sehen, dass die Lösungen ein Quadrat bilden, wie wir es erwarten, da wir 4 verschiedene Lösungen haben.
[[Image:3_3_2_a.gif|center]]
[[Image:3_3_2_a.gif|center]]

Aktuelle Version

Eine Gleichung der Form "\displaystyle z^{n} = \text{Eine komplexe Zahl}" löst man, indem man alle Zahlen in Polarform bringt und den Moivreschen Satz benutzt.

Wir bringen zuerst \displaystyle z und \displaystyle 1 in Polarform

\displaystyle \begin{align}

z &= r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\,,\\[5pt] 1 &= 1(\cos 0 + i\sin 0)\,\textrm{.} \end{align}

Wir erhalten die Gleichung

\displaystyle r^4(\cos 4\alpha + i\sin 4\alpha) = 1\,(\cos 0 + i\sin 0)\,,

wobei wir den Moivreschen Satz auf der linken Seite benutzt haben. Damit die rechte und die linke Seite gleich sind, müssen deren Beträge gleich sein und auch deren Argumente dürfen sich nur durch ein Vielfaches von \displaystyle 2\pi unterscheiden

\displaystyle \left\{\begin{align}

r^{4} &= 1\,,\\[5pt] 4\alpha &= 0+2n\pi\,,\quad (\text{n ist eine beliebige ganze Zahl})\textrm{.} \end{align}\right.

Also ist

\displaystyle \left\{\begin{align}

r &= 1\,,\\[5pt] \alpha &= \frac{n\pi}{2}\,,\quad \text{(n ist eine beliebige ganze Zahl).} \end{align}\right.

Und die Wurzeln sind

\displaystyle z = 1\cdot\Bigl(\cos\frac{n\pi}{2} + i\sin\frac{n\pi}{2}\Bigr)\,,\quad\text{für }n=0, 1, 2, 3.

Wir erhalten aber nur vier unterschiedliche Winkel, nämlich \displaystyle 0, \displaystyle \pi/2, \displaystyle \pi und \displaystyle 3\pi/2, da jeder anderer Winkel sich nur durch ein Vielfaches von \displaystyle 2\pi\, von diesen Winkeln unterscheidet.

Die Wurzeln sind daher

\displaystyle z=\left\{\begin{align}

&1\cdot(\cos 0 + i\sin 0)\,,\\[5pt] &1\cdot(\cos (\pi/2) + i\sin (\pi/2))\,,\\[5pt] &1\cdot(\cos \pi + i\sin \pi)\,,\\[5pt] &1\cdot(\cos (3\pi/2) + i\sin (3\pi/2))\,, \end{align}\right. = \left\{ \begin{align} 1\,,&\\[5pt] i\,,&\\[5pt] -1\,,&\\[5pt] -i\,\textrm{.}& \end{align}\right.

Wir sehen, dass die Lösungen ein Quadrat bilden, wie wir es erwarten, da wir 4 verschiedene Lösungen haben.

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