Lösung 2.3:2c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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If we use the definition of
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Durch die Definition von <math>\tan x</math> erhalten wir
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<math>\tan x</math>
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and write the integral as
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{{Abgesetzte Formel||<math>\int\tan x\,dx = \int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx\,</math>.}}
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<math>\int{\tan x\,dx}=\int{\frac{\sin x}{\cos x}\,dx}</math>
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Wir sehen hier, dass der Zähler <math>\sin x</math> (fast) die Ableitung vom Nenner ist. Daher machen wir die Substitution <math>u=\cos x</math>.
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx
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&= \left\{\begin{align}
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u &= \cos x\\[5pt]
 +
du &= (\cos x)'\,dx = -\sin x\,dx
 +
\end{align}\right\}\\[5pt]
 +
&= -\int\frac{du}{u}\\[5pt]
 +
&= -\ln |u| + C\\[5pt]
 +
&= -\ln |\cos x| + C
 +
\end{align}</math>}}
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we see that the numerator
 
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<math>\sin x</math>
 
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is the derivative of the denominator (apart from the minus sign). Hence, the substitution
 
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<math>u=\cos x</math>
 
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will work,
 
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Hinweis: <math>-\ln \left| \cos x \right|+C</math> ist nur eine Stammfunktion, wenn <math>\cos x\ne 0</math>.
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<math>\begin{align}
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& \int{\frac{\sin x}{\cos x}\,dx}=\left\{ \begin{matrix}
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u=\cos x \\
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du=\left( \cos x \right)^{\prime }\,dx=-\sin x\,dx \\
+
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\end{matrix} \right\} \\
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& =-\int{\frac{\,du}{u}}=-\ln \left| u \right|+C=-\ln \left| \cos x \right|+C \\
+
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\end{align}</math>
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NOTE:
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<math>-\ln \left| \cos x \right|+C</math>
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is only a primitive function in intervals in which
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<math>\cos x\ne 0</math>.
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Aktuelle Version

Durch die Definition von \displaystyle \tan x erhalten wir

\displaystyle \int\tan x\,dx = \int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx\,.

Wir sehen hier, dass der Zähler \displaystyle \sin x (fast) die Ableitung vom Nenner ist. Daher machen wir die Substitution \displaystyle u=\cos x.

\displaystyle \begin{align}

\int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx &= \left\{\begin{align} u &= \cos x\\[5pt] du &= (\cos x)'\,dx = -\sin x\,dx \end{align}\right\}\\[5pt] &= -\int\frac{du}{u}\\[5pt] &= -\ln |u| + C\\[5pt] &= -\ln |\cos x| + C \end{align}


Hinweis: \displaystyle -\ln \left| \cos x \right|+C ist nur eine Stammfunktion, wenn \displaystyle \cos x\ne 0.

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