Lösung 2.3:2a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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Had the integral instead been
+
Wäre das Integral
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{{Abgesetzte Formel||<math>\int e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx\,</math>,}}
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<math>\int{e^{\sqrt{x}}}\centerdot \frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx</math>
+
würden wir die Substitution <math>u=\sqrt{x}</math> machen. Obwohl unser Integrand nicht der erwünschte ist, probieren wir es mit der Substitution <math>u=\sqrt{x}</math>. Indem wir den Bruch mit dem Faktor <math>2\sqrt{x}</math> erweitern, erhalten wir
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it is quite obvious that we would substitute
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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<math>u=\sqrt{x}</math>, but we are missing a factor
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\int e^{\sqrt{x}}\,dx
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<math>\frac{1}{2\sqrt{x}}</math>
+
&= \int e^{\sqrt{x}}\cdot 2\sqrt{x}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx\\[5pt]
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which would take account of the derivative of
+
&= \left\{\begin{align}
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<math>u</math>
+
u &= \sqrt{x}\\[5pt]
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which is needed when
+
du &= \bigl(\sqrt{x}\,\bigr)'\,dx = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\,dx
-
<math>dx</math>
+
\end{align}\right\}\\[5pt]
-
is replaced by
+
&= \int e^{u}\cdot 2u\,du\,\textrm{.}
-
<math>du</math>. In spite of this, we can try the substitution
+
\end{align}</math>}}
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<math>u=\sqrt{x}</math>
+
-
if we multiply top and bottom by what is missing:
+
 +
Dieses Integral können wir mit partieller Integration berechnen, indem wir <math>2u</math> ableiten und <math>e^{u}</math> integrieren.
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<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
& \int{e^{\sqrt{x}}\,dx=\int{e^{\sqrt{x}}\centerdot }}2\sqrt{x}\centerdot \frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx \\
+
\int e^u\cdot 2u\,du
-
& =\left\{ \begin{matrix}
+
&= e^u\cdot 2u - \int e^u\cdot 2\,du\\[5pt]
-
u=\sqrt{x} \\
+
&= 2ue^u - 2\int e^u\,du\\[5pt]
-
du=\left( \sqrt{x} \right)^{\prime }\,dx=\frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx \\
+
&= 2ue^u - 2e^u + C\\[5pt]
-
\end{matrix} \right\} \\
+
&= 2(u-1)e^u + C
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& =\int{e^{u}\centerdot 2u\,du} \\
+
\end{align}</math>}}
-
\end{align}</math>
+
 +
Substituieren wir jetzt <math>u=\sqrt{x}</math> zurück, erhalten wir
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Now, we obtain instead another, not entirely simple, integral, but we can calculate the new integral by partial integration (
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{{Abgesetzte Formel||<math>\int e^{\sqrt{x}}\,dx = 2(\sqrt{x}-1)e^{\sqrt{x}} + C\,\textrm{.}</math>}}
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<math>\text{2}u</math>
+
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is the factor that we differentiate and
+
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<math>e^{u}</math>
+
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is the factor that we integrate),
+
-
 
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Wie gesehen verwenden wir hier mehrere Integrationsmethoden auf einmal und es ist nicht immer ganz offensichtlich, wie man beginnen soll.
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<math>\begin{align}
+
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& \int{e^{u}\centerdot 2u\,du}=e^{u}\centerdot 2u-\int{e^{u}\centerdot 2\,du} \\
+
-
& =2ue^{u}-2\int{e^{u}\,du} \\
+
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& =2ue^{u}-2e^{u}+C \\
+
-
& =2\left( u-1 \right)e^{u}+C \\
+
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\end{align}</math>
+
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+
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If we substitute back
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<math>u=\sqrt{x}</math>, we obtain the answer
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<math>\int{e^{\sqrt{x}}\,dx=2\left( \sqrt{x}-1 \right)}e^{\sqrt{x}}+C</math>
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As can be seen, it is possible to mix different integration techniques and often we need to experiment with different approaches before we find the right one.
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Aktuelle Version

Wäre das Integral

\displaystyle \int e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx\,,

würden wir die Substitution \displaystyle u=\sqrt{x} machen. Obwohl unser Integrand nicht der erwünschte ist, probieren wir es mit der Substitution \displaystyle u=\sqrt{x}. Indem wir den Bruch mit dem Faktor \displaystyle 2\sqrt{x} erweitern, erhalten wir

\displaystyle \begin{align}

\int e^{\sqrt{x}}\,dx &= \int e^{\sqrt{x}}\cdot 2\sqrt{x}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx\\[5pt] &= \left\{\begin{align} u &= \sqrt{x}\\[5pt] du &= \bigl(\sqrt{x}\,\bigr)'\,dx = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\,dx \end{align}\right\}\\[5pt] &= \int e^{u}\cdot 2u\,du\,\textrm{.} \end{align}

Dieses Integral können wir mit partieller Integration berechnen, indem wir \displaystyle 2u ableiten und \displaystyle e^{u} integrieren.

\displaystyle \begin{align}

\int e^u\cdot 2u\,du &= e^u\cdot 2u - \int e^u\cdot 2\,du\\[5pt] &= 2ue^u - 2\int e^u\,du\\[5pt] &= 2ue^u - 2e^u + C\\[5pt] &= 2(u-1)e^u + C \end{align}

Substituieren wir jetzt \displaystyle u=\sqrt{x} zurück, erhalten wir

\displaystyle \int e^{\sqrt{x}}\,dx = 2(\sqrt{x}-1)e^{\sqrt{x}} + C\,\textrm{.}

Wie gesehen verwenden wir hier mehrere Integrationsmethoden auf einmal und es ist nicht immer ganz offensichtlich, wie man beginnen soll.

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