Lösung 2.3:1c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
Aktuelle Version (07:43, 28. Aug. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
 
(Der Versionsvergleich bezieht 5 dazwischen liegende Versionen mit ein.)
Zeile 1: Zeile 1:
-
The integrand consists of two factors, so partial integration is a plausible method. The most obvious thing to do is to choose
+
Wählen wir unsere Faktoren so, dass wir <math>x^2</math> ableiten und <math>\cos x</math> integrieren, erhalten wir ein Integral mit einem linearen Term statt einem quadratischen.
-
<math>x^{2}</math>
+
-
as the factor that we will differentiate and
+
-
<math>\cos x</math>
+
-
as the factor that we will integrate. Admittedly, the
+
-
<math>x^{2}</math>
+
-
-factor will not be differentiated away, but its exponent decreases by
+
-
<math>\text{1}</math>
+
-
and this makes the integral a little easier:
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\int x^2\cdot\cos x\,dx = x^2\cdot\sin x - \int 2x\cdot\sin x\,dx\,\textrm{.}</math>}}
-
<math>\int{x^{2}\cos x\,dx=x^{2}\centerdot \sin x-\int{2x\centerdot \sin x\,dx}}</math>
+
Das rechte Integral berechnen wir ähnlich wie das vorige. Wir leiten <math> 2x </math> ab und integrieren <math>\sin x</math>.
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\int 2x\cdot \sin x\,dx
 +
&= 2x\cdot (-\cos x) - \int 2\cdot (-\cos x)\,dx\\[5pt]
 +
&= -2x\cos x + 2\int \cos x\,dx\\[5pt]
 +
&= -2x\cos x + 2\sin x + C
 +
\end{align}</math>}}
-
We can attack the integral on the right-hand side in the same way. Let
+
Alles in allem erhalten wir
-
<math>2x</math>
+
-
be the factor that we differentiate and
+
-
<math>\sin x</math>
+
-
the factor that we integrate. This time, we have only one factor left:
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\int x^2\cos x\,dx
 +
&= x^2\cdot\sin x - (-2x\cos x+2\sin x+C)\\[5pt]
 +
&= x^2\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
-
<math>\begin{align}
+
'''Hinweis:''' Wenn man mehrere partielle Integrationen benötigt, rechnet man oft in Schritten bevor man die endgültige Antwort berechnet.
-
& \int{2x\centerdot \sin x\,dx}=2x\centerdot \left( -\cos x \right)-\int{2\centerdot }\left( -\cos x \right)\,dx \\
+
-
& =-2x\cos x+2\int{\cos x\,dx} \\
+
-
& =-2x\cos x+2\sin x+C \\
+
-
\end{align}</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
All in all, we obtain
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\begin{align}
+
-
& \int{x^{2}\cos x\,dx=x^{2}\centerdot \sin x-\left( -2x\cos x+2\sin x+C \right)} \\
+
-
& =x^{2}\centerdot \sin x+2x\cos x-2\sin x+C \\
+
-
\end{align}</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
For more difficult integrals, it is quite normal to have to work step by step before getting the final answer.
+

Aktuelle Version

Wählen wir unsere Faktoren so, dass wir \displaystyle x^2 ableiten und \displaystyle \cos x integrieren, erhalten wir ein Integral mit einem linearen Term statt einem quadratischen.

\displaystyle \int x^2\cdot\cos x\,dx = x^2\cdot\sin x - \int 2x\cdot\sin x\,dx\,\textrm{.}

Das rechte Integral berechnen wir ähnlich wie das vorige. Wir leiten \displaystyle 2x ab und integrieren \displaystyle \sin x.

\displaystyle \begin{align}

\int 2x\cdot \sin x\,dx &= 2x\cdot (-\cos x) - \int 2\cdot (-\cos x)\,dx\\[5pt] &= -2x\cos x + 2\int \cos x\,dx\\[5pt] &= -2x\cos x + 2\sin x + C \end{align}

Alles in allem erhalten wir

\displaystyle \begin{align}

\int x^2\cos x\,dx &= x^2\cdot\sin x - (-2x\cos x+2\sin x+C)\\[5pt] &= x^2\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C\,\textrm{.} \end{align}

Hinweis: Wenn man mehrere partielle Integrationen benötigt, rechnet man oft in Schritten bevor man die endgültige Antwort berechnet.

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_2.3:1c“