Lösung 2.3:1b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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we look at the formula for partial integration,
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Die Formel für partielle Integration lautet
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{{Abgesetzte Formel||<math>\int f(x)g(x)\,dx = F(x)g(x) - \int F(x)g'(x)\,dx</math>.}}
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<math>\int{f\left( x \right)}g\left( x \right)\,dx=F\left( x \right)g\left( x \right)-\int{F\left( x \right){g}'\left( x \right)\,dx}</math>
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Wir wählen hier <math>f(x)=\sin x</math> und <math>g(x)=x+1</math>, nachdem die Ableitung von <math>g(x)</math> nur eine Konstante ist.
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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we see that if we choose
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\int (x+1)\sin x\,dx
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<math>f\left( x \right)=\text{sin }x\text{ }</math>
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&= (x+1)\cdot (-\cos x) - \int 1\cdot (-\cos x)\,dx\\[5pt]
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and
+
&= -(x+1)\cos x + \int \cos x\,dx\\[5pt]
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<math>g\left( x \right)=x+\text{1}</math>, then the factor
+
&= -(x+1)\cos x + \sin x + C
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<math>g\left( x \right)</math>
+
\end{align}</math>}}
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will be differentiated to a constant on the right-hand side of the integral. Naturally, this presupposes that we can find a primitive function for
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<math>f\left( x \right)</math>
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(which we can) and that we can then integrate it. Let's try!
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<math>\begin{align}
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& \int{\left( x+1 \right)}\sin x\,dx=\left( x+1 \right)\centerdot \left( -\cos x \right)-\int{1\centerdot }\left( -\cos x \right)\,dx \\
+
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& =-\left( x+1 \right)\cos x+\int{\cos x}\,dx \\
+
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& =-\left( x+1 \right)\cos x+\sin x+C \\
+
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\end{align}</math>
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Aktuelle Version

Die Formel für partielle Integration lautet

\displaystyle \int f(x)g(x)\,dx = F(x)g(x) - \int F(x)g'(x)\,dx.

Wir wählen hier \displaystyle f(x)=\sin x und \displaystyle g(x)=x+1, nachdem die Ableitung von \displaystyle g(x) nur eine Konstante ist.

\displaystyle \begin{align}

\int (x+1)\sin x\,dx &= (x+1)\cdot (-\cos x) - \int 1\cdot (-\cos x)\,dx\\[5pt] &= -(x+1)\cos x + \int \cos x\,dx\\[5pt] &= -(x+1)\cos x + \sin x + C \end{align}

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