Lösung 2.3:1a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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The formula for partial integration reads
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Die Formel für partielle Integration lautet
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{{Abgesetzte Formel||<math>\int f(x)g(x)\,dx = F(x)g(x) - \int F(x)g'(x)\,dx\,,</math>}}
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<math>\int{f\left( x \right)}g\left( x \right)\,dx=F\left( x \right)g\left( x \right)-\int{F\left( x \right){g}'\left( x \right)\,dx}</math>,
+
wobei <math>F(x)</math> eine Stammfunktion von <math>f(x)</math> ist und <math>g'(x)</math> die Ableitung von <math>g(x)</math> ist.
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where
+
Um das Integral mit partieller Integration zu berechnen, müssen wir den Integrand in die zwei Faktoren <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> aufteilen. Wenn wir die Aufteilung machen, wollen wir, dass das Produkt <math>F(x)g'(x)</math> einfacher zu integrieren ist als <math>f(x)g(x)</math>, sonst wäre die partielle Integration sinnlos.
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<math>F\left( x \right)</math>
+
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is a primitive function of
+
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<math>f\left( x \right)</math>
+
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and
+
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<math>{g}'\left( x \right)</math>
+
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is a derivative of
+
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<math>g\left( x \right)</math>.
+
-
If we are to use partial integration, the integrand has to be divided up into two factors, a factor
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Im Integral
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<math>f\left( x \right)</math>
+
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which we integrate and a factor
+
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<math>g\left( x \right)</math>
+
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which we differentiate. It is only when the product
+
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<math>F\left( x \right){g}'\left( x \right)</math>
+
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becomes simpler than
+
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<math>f\left( x \right)g\left( x \right)</math>
+
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that there is any point in partially integrating.
+
-
In the integral
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\int 2xe^{-x}\,dx</math>}}
 +
ist es sinnvoll <math>f(x)=e^{-x}</math> und <math>g(x) = 2x</math> zu wählen, da dann <math>g'(x) = 2</math> und <math>F(x) = -e^{-x}</math>, deren Produkte wir einfach integrieren können.
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<math>\int{2xe^{-x}}\,dx</math>,
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\int 2x\cdot e^{-x}\,dx
 +
&= 2x\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr) - \int 2\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr)\,dx\\[5pt]
 +
&= -2xe^{-x} + 2\int e^{-x}\,dx\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
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it can seem appropriate to choose
+
Schließlich müssen wir nur noch das Integral <math>e^{-x}</math> berechnen.
-
<math>f\left( x \right)=e^{-x}</math>
+
-
and
+
-
<math>g\left( x \right)=2x</math>, because then
+
-
<math>{g}'\left( x \right)=2</math>
+
-
and we have only
+
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<math>F\left( x \right)=-e^{-x}</math>
+
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left,
+
-
 
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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<math>\begin{align}
+
\phantom{\int 2x\cdot e^{-x}\,dx}{}
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& \int{2xe^{-x}}\,dx=2x\centerdot \left( -e^{-x} \right)-\int{2\centerdot }\left( -e^{-x} \right)\,dx \\
+
&= \rlap{-2xe^{-x} + 2\bigl(-e^{-x}\bigr) + C}\phantom{2x\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr) - \int 2\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr)\,dx}\\[5pt]
-
& =-2xe^{-x}+2\int{e^{-x}\,dx} \\
+
&= -2xe^{-x} - 2e^{-x} + C\\[5pt]
-
\end{align}</math>
+
&= -2(x+1)e^{-x} + C
-
 
+
\end{align}</math>}}
-
 
+
-
It remains only to integrate
+
-
<math>e^{-x}</math>
+
-
and we are finished:
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\begin{align}
+
-
& =-2xe^{-x}+2\left( -e^{-x} \right)+C \\
+
-
& =-2xe^{-x}-2e^{-x}+C \\
+
-
& =-2\left( x+1 \right)e^{-x}+C \\
+
-
\end{align}</math>
+

Aktuelle Version

Die Formel für partielle Integration lautet

\displaystyle \int f(x)g(x)\,dx = F(x)g(x) - \int F(x)g'(x)\,dx\,,

wobei \displaystyle F(x) eine Stammfunktion von \displaystyle f(x) ist und \displaystyle g'(x) die Ableitung von \displaystyle g(x) ist.

Um das Integral mit partieller Integration zu berechnen, müssen wir den Integrand in die zwei Faktoren \displaystyle f(x) und \displaystyle g(x) aufteilen. Wenn wir die Aufteilung machen, wollen wir, dass das Produkt \displaystyle F(x)g'(x) einfacher zu integrieren ist als \displaystyle f(x)g(x), sonst wäre die partielle Integration sinnlos.

Im Integral

\displaystyle \int 2xe^{-x}\,dx

ist es sinnvoll \displaystyle f(x)=e^{-x} und \displaystyle g(x) = 2x zu wählen, da dann \displaystyle g'(x) = 2 und \displaystyle F(x) = -e^{-x}, deren Produkte wir einfach integrieren können.

\displaystyle \begin{align}

\int 2x\cdot e^{-x}\,dx &= 2x\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr) - \int 2\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr)\,dx\\[5pt] &= -2xe^{-x} + 2\int e^{-x}\,dx\,\textrm{.} \end{align}

Schließlich müssen wir nur noch das Integral \displaystyle e^{-x} berechnen.

\displaystyle \begin{align}

\phantom{\int 2x\cdot e^{-x}\,dx}{} &= \rlap{-2xe^{-x} + 2\bigl(-e^{-x}\bigr) + C}\phantom{2x\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr) - \int 2\cdot \bigl(-e^{-x}\bigr)\,dx}\\[5pt] &= -2xe^{-x} - 2e^{-x} + C\\[5pt] &= -2(x+1)e^{-x} + C \end{align}

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