Lösung 2.2:4c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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The trick is to complete the square in the denominator so that we obtain the same expression as in exercise b,
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Wir führen die quadratische Ergänzung im Nenner aus.
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{{Abgesetzte Formel||<math>\int \frac{dx}{x^2+4x+8} = \int \frac{dx}{(x+2)^2-2^2+8} = \int \frac{dx}{(x+2)^2+4}</math>}}
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<math>\int{\frac{\,dx}{x^{2}+4x+8}}=\int{\frac{\,dx}{\left( x+2 \right)^{2}-2^{2}+8}}=\int{\frac{\,dx}{\left( x+2 \right)^{2}+4}}</math>
+
Jetzt machen wir weiter wie in der vorigen Übung. Wir ziehen den Faktor 4 aus dem Nenner
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{{Abgesetzte Formel||<math>\int \frac{dx}{(x+2)^2+4} = \int \frac{dx}{4\bigl(\tfrac{1}{4}(x+2)^2+1\bigr)} = \frac{1}{4}\int \frac{dx}{\tfrac{1}{4}(x+2)^2+1}</math>}}
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We take out a factor
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und schreiben den quadratischen Term wie
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<math>\text{4}</math>
+
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from the denominator
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{4}\int \frac{dx}{\tfrac{1}{4}(x+2)^2+1} = \frac{1}{4}\int \frac{dx}{\Bigl(\dfrac{x+2}{2}\Bigr)^2+1}\,\textrm{.}</math>}}
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<math>\int{\frac{\,dx}{\left( x+2 \right)^{2}+4}}=\int{\frac{\,dx}{4\left( \frac{1}{4}\left( x+2 \right)^{2}+1 \right)}}=\frac{1}{4}\int{\frac{\,dx}{\frac{1}{4}\left( x+2 \right)^{2}+1}}</math>
+
Machen wir die Substitution <math>u = (x+2)/2</math>, erhalten wir das erwünschte Integral
-
 
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
and rewrite the quadratic term as
+
\frac{1}{4}\int \frac{dx}{\Bigl(\dfrac{x+2}{2}\Bigr)^2+1}
-
 
+
&= \left\{\begin{align}
-
 
+
u &= (x+2)/2\\[5pt]
-
<math>\frac{1}{4}\int{\frac{\,dx}{\frac{1}{4}\left( x+2 \right)^{2}+1}}=\frac{1}{4}\int{\frac{\,dx}{\left( \frac{x+2}{2} \right)^{2}+1}}</math>
+
du &= dx/2
-
 
+
\end{align}\right\}\\[5pt]
-
 
+
&= \frac{1}{4}\int \frac{2\,du}{u^2+1}\\[5pt]
-
If we now substitute
+
&= \frac{1}{2}\int \frac{du}{u^2+1}\\[5pt]
-
<math>u=\frac{x+2}{2}</math>, we obtain the integral in the exercise
+
&= \frac{1}{2}\arctan u + C\\[5pt]
-
 
+
&= \frac{1}{2}\arctan \frac{x+2}{2} + C\,\textrm{.}
-
 
+
\end{align}</math>}}
-
<math>\begin{align}
+
-
& \frac{1}{4}\int{\frac{\,dx}{\left( \frac{x+2}{2} \right)^{2}+1}}=\left\{ \begin{matrix}
+
-
u=\frac{x+2}{2} \\
+
-
du=\frac{\,dx}{2} \\
+
-
\end{matrix} \right\} \\
+
-
& =\frac{1}{4}\int{\frac{\,2dx}{u^{2}+1}}=\frac{1}{2}\int{\frac{\,dx}{u^{2}+1}} \\
+
-
& =\frac{1}{2}\arctan u+C \\
+
-
& =\frac{1}{2}\arctan \frac{x+2}{2}+C \\
+
-
\end{align}</math>
+

Aktuelle Version

Wir führen die quadratische Ergänzung im Nenner aus.

\displaystyle \int \frac{dx}{x^2+4x+8} = \int \frac{dx}{(x+2)^2-2^2+8} = \int \frac{dx}{(x+2)^2+4}

Jetzt machen wir weiter wie in der vorigen Übung. Wir ziehen den Faktor 4 aus dem Nenner

\displaystyle \int \frac{dx}{(x+2)^2+4} = \int \frac{dx}{4\bigl(\tfrac{1}{4}(x+2)^2+1\bigr)} = \frac{1}{4}\int \frac{dx}{\tfrac{1}{4}(x+2)^2+1}

und schreiben den quadratischen Term wie

\displaystyle \frac{1}{4}\int \frac{dx}{\tfrac{1}{4}(x+2)^2+1} = \frac{1}{4}\int \frac{dx}{\Bigl(\dfrac{x+2}{2}\Bigr)^2+1}\,\textrm{.}

Machen wir die Substitution \displaystyle u = (x+2)/2, erhalten wir das erwünschte Integral

\displaystyle \begin{align}

\frac{1}{4}\int \frac{dx}{\Bigl(\dfrac{x+2}{2}\Bigr)^2+1} &= \left\{\begin{align} u &= (x+2)/2\\[5pt] du &= dx/2 \end{align}\right\}\\[5pt] &= \frac{1}{4}\int \frac{2\,du}{u^2+1}\\[5pt] &= \frac{1}{2}\int \frac{du}{u^2+1}\\[5pt] &= \frac{1}{2}\arctan u + C\\[5pt] &= \frac{1}{2}\arctan \frac{x+2}{2} + C\,\textrm{.} \end{align}

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