Lösung 2.1:1c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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The straight line <math>y=3-2x</math> cuts the ''x''-axis at the point
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Die Gerade <math>y=3-2x</math> schneidet die ''x''-Achse im Punkt
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{{Displayed math||<math>y=3-2x=0\quad \Leftrightarrow \quad x=3/2</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>y=3-2x=0\quad \Leftrightarrow \quad x=3/2.</math>}}
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so the part of the line to the right of <math>x=3/2</math> lies under the ''y''-axis.
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Also liegt ein Teil der Geraden <math>x=3/2</math> unter der ''y''-Achse.
[[Image:2_1_1_c1.gif|center]]
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When the curve of a function lies both above and below the ''x''-axis, the value of the integral can be interpreted as “an area having a sign”, which means that, for that part where the curve is under the ''x''-axis, we instead subtract the area between the curve and the ''x''-axis.
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Wenn wir das Integral berechen, müssen wir berücksichtigen, dass die Fläche, die unter der ''y''-Achse liegt, von der Fläche oberhalb der ''y''-Achse subtrahiert werden muss.
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If we divide up the area between the straight line and the ''x''-axis at <math>x=3/2</math>, we see that the value of the integral is the area of the triangle to the left in the figure below, minus the area of the triangle to the right.
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Wir teilen unsere Fläche also in eine linke und eine rechte Fläche auf
[[Image:2_1_1_c2.gif|center]]
[[Image:2_1_1_c2.gif|center]]
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We obtain
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und erhalten
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{{Displayed math||<math>\int\limits_{0}^{2} (3-2x)\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot 3 - \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot 1 = \frac{9}{4} - \frac{1}{4} = 2\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_{0}^{2} (3-2x)\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot 3 - \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot 1 = \frac{9}{4} - \frac{1}{4} = 2\,\textrm{.}</math>}}

Aktuelle Version

Die Gerade \displaystyle y=3-2x schneidet die x-Achse im Punkt

\displaystyle y=3-2x=0\quad \Leftrightarrow \quad x=3/2.

Also liegt ein Teil der Geraden \displaystyle x=3/2 unter der y-Achse.

Wenn wir das Integral berechen, müssen wir berücksichtigen, dass die Fläche, die unter der y-Achse liegt, von der Fläche oberhalb der y-Achse subtrahiert werden muss.

Wir teilen unsere Fläche also in eine linke und eine rechte Fläche auf

und erhalten

\displaystyle \int\limits_{0}^{2} (3-2x)\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot 3 - \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot 1 = \frac{9}{4} - \frac{1}{4} = 2\,\textrm{.}
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