Lösung 2.2:3c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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It is simpler to investigate the integral if we write it as
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Wir schreiben zuerst das Integral als
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{{Abgesetzte Formel||<math>\int \ln x\cdot\frac{1}{x}\,dx\,.</math>}}
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<math>\int{\ln x\centerdot \frac{1}{x}\,dx}</math>,
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Die Ableitung von <math>\ln x</math> ist <math>1/x</math>. Wir substituieren <math>u = \ln x</math> und erhalten so
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The derivative of
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{{Abgesetzte Formel||<math>\int u\cdot u'\,dx\,\textrm{.}</math>}}
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<math>\ln x</math>
+
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is
+
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<math>\frac{1}{x}</math>, so if we choose
+
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<math>u=\ln x</math>, the integral can be expressed as
+
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Also ist dies eine gute Substitution. Weiterhin erhalten wir
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<math>\int{u\centerdot {u}'\,dx}</math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
 
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\int \ln x\cdot\frac{1}{x}\,dx
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+
&= \left\{\begin{align}
-
Thus, it seems that
+
u &= \ln x\\[5pt]
-
<math>u=\ln x</math>
+
du &= (\ln x)'\,dx = (1/x)\,dx
-
is a useful substitution,
+
\end{align}\right\}\\[5pt]
-
 
+
&= \int u\,du\\[5pt]
-
 
+
&= \frac{1}{2}u^{2} + C\\[5pt]
-
<math>\begin{align}
+
&= \frac{1}{2}(\ln x)^2 + C\,\textrm{.}
-
& \int{\ln x\centerdot \frac{1}{x}\,dx}=\left\{ \begin{matrix}
+
\end{align}</math>}}
-
u=\ln x \\
+
-
du=\left( \ln x \right)^{\prime }\,dx=\frac{1}{x}\,dx \\
+
-
\end{matrix} \right\} \\
+
-
& =\int{u\,du=\frac{1}{2}u^{2}+C} \\
+
-
& =\frac{1}{2}\left( \ln x \right)^{2}+C \\
+
-
\end{align}</math>
+

Aktuelle Version

Wir schreiben zuerst das Integral als

\displaystyle \int \ln x\cdot\frac{1}{x}\,dx\,.

Die Ableitung von \displaystyle \ln x ist \displaystyle 1/x. Wir substituieren \displaystyle u = \ln x und erhalten so

\displaystyle \int u\cdot u'\,dx\,\textrm{.}

Also ist dies eine gute Substitution. Weiterhin erhalten wir

\displaystyle \begin{align}

\int \ln x\cdot\frac{1}{x}\,dx &= \left\{\begin{align} u &= \ln x\\[5pt] du &= (\ln x)'\,dx = (1/x)\,dx \end{align}\right\}\\[5pt] &= \int u\,du\\[5pt] &= \frac{1}{2}u^{2} + C\\[5pt] &= \frac{1}{2}(\ln x)^2 + C\,\textrm{.} \end{align}

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