Lösung 2.2:2c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
K
Aktuelle Version (12:23, 27. Aug. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
 
(Der Versionsvergleich bezieht 5 dazwischen liegende Versionen mit ein.)
Zeile 1: Zeile 1:
-
If we focus on the integrand, then the substitution
+
Die Substitution <math>u=3x+1</math> ergibt einen einfacheren Integrand. Da <math>u=3x+1</math> eine lineare Funktion ist, ist das Verhältnis zwischen <math>dx</math> und <math>du</math> nur eine Konstante.
-
<math>u=\text{3}x+\text{1}</math>
+
-
seems suitable, since we then get
+
-
<math>\sqrt{u}</math>
+
-
which we can integrate. There is also no risk involved in using a linear substitution such as
+
-
<math>u=\text{3}x+\text{1}</math>, because the relation between
+
-
<math>dx\text{ }</math>
+
-
and
+
-
<math>du</math>
+
-
will be a constant factor,
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>du = (3x+1)'\,dx = 3\,dx</math>}}
-
<math>du=\left( \text{3}x+\text{1} \right)^{\prime }\,dx=3\,dx</math>
+
Wir erhalten
-
 
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
which does not cause any problems.
+
\int\limits_0^5 \sqrt{3x+1}\,dx
-
 
+
&= \left\{\begin{align}
-
We obtain
+
u &= 3x+1\\[5pt]
-
 
+
du &= 3\,dx
-
 
+
\end{align}\right\} = \frac{1}{3}\int\limits_1^{16} \sqrt{u}\,du\\[5pt]
-
<math>\begin{align}
+
&= \frac{1}{3}\int\limits_1^{16} u^{1/2}\,du = \frac{1}{3}\biggl[\ \frac{u^{1/2+1}}{\tfrac{1}{2}+1}\ \biggr]_1^{16}\\[5pt]
-
& \int\limits_{0}^{5}{\sqrt{3x+1}}\,dx=\left\{ \begin{matrix}
+
&= \frac{1}{3}\Bigl[\ \frac{2}{3}u\sqrt{u}\ \Bigr]_1^{16} = \frac{2}{9}\bigl( 16\sqrt{16}-1\sqrt{1} \bigr)\\[8pt]
-
u=\text{3}x+\text{1} \\
+
&= \frac{2}{9}\bigl( 16\cdot 4-1 \bigr) = \frac{2\cdot 63}{9} = 14\,\textrm{.}
-
du=3\,dx \\
+
\end{align}</math>}}
-
\end{matrix} \right\}=\frac{1}{3}\int\limits_{1}^{16}{\sqrt{u}}\,du \\
+
-
& =\frac{1}{3}\int\limits_{1}^{16}{u^{{1}/{2}\;}}\,du=\frac{1}{3}\left[ \frac{u^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} \right]_{1}^{16} \\
+
-
& =\frac{1}{3}\left[ \frac{2}{3}u\sqrt{u} \right]_{1}^{16}=\frac{2}{9}\left( 16\sqrt{16}-1\sqrt{1} \right) \\
+
-
& =\frac{2}{9}\left( 16\centerdot 4-1 \right)=\frac{2\centerdot 63}{9}=14 \\
+
-
\end{align}</math>
+

Aktuelle Version

Die Substitution \displaystyle u=3x+1 ergibt einen einfacheren Integrand. Da \displaystyle u=3x+1 eine lineare Funktion ist, ist das Verhältnis zwischen \displaystyle dx und \displaystyle du nur eine Konstante.

\displaystyle du = (3x+1)'\,dx = 3\,dx

Wir erhalten

\displaystyle \begin{align}

\int\limits_0^5 \sqrt{3x+1}\,dx &= \left\{\begin{align} u &= 3x+1\\[5pt] du &= 3\,dx \end{align}\right\} = \frac{1}{3}\int\limits_1^{16} \sqrt{u}\,du\\[5pt] &= \frac{1}{3}\int\limits_1^{16} u^{1/2}\,du = \frac{1}{3}\biggl[\ \frac{u^{1/2+1}}{\tfrac{1}{2}+1}\ \biggr]_1^{16}\\[5pt] &= \frac{1}{3}\Bigl[\ \frac{2}{3}u\sqrt{u}\ \Bigr]_1^{16} = \frac{2}{9}\bigl( 16\sqrt{16}-1\sqrt{1} \bigr)\\[8pt] &= \frac{2}{9}\bigl( 16\cdot 4-1 \bigr) = \frac{2\cdot 63}{9} = 14\,\textrm{.} \end{align}

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_2.2:2c“