Lösung 2.1:4e

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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The double inequality means that we look for the area of the region which is bounded above in the y-direction by the straight line
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Die doppelte Ungleichung bedeutet, dass ''y'' zwischen den Kurven <math>y=x+2</math> und <math>y=x^2</math> liegt.
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<math>y=x+\text{2}</math>
+
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and from below by the parabola
+
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<math>y=x^{2}</math>.
+
-
 
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If we sketch the line and the parabola, the region is given by the region shaded in the figure below.
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In der Figur unten ist das Gebiet eingezeichnet.
[[Image:2_1_4_e.gif|center]]
[[Image:2_1_4_e.gif|center]]
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Die Fläche des Gebietes ist
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As soon as we have determined the
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{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Fläche} = \int\limits_a^b \bigl(x+2-x^2\bigr)\,dx\,\textrm{,}</math>}}
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<math>x</math>
+
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-coordinates of the points of intersection,
+
-
<math>x=a</math>
+
-
and
+
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<math>x=b</math>, between the line and the parabola, we can calculate the area as the integral of the difference between the curves'
+
-
<math>y</math>
+
-
-values:
+
-
Area=
+
wobei <math>x=a</math> und <math>x=b</math> die Schnittstellen der beiden Kurven sind, die wir durch folgende Gleichung erhalten
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<math>\int\limits_{a}^{b}{\left( x+2-x^{2} \right)}\,dx</math>
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
 +
y &= x+2\,,\\[5pt]
 +
y &= x^2\,\textrm{.}
 +
\end{align} \right.</math>}}
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The curves' points of intersection are those points which lie on both curves, i.e. which satisfy both curves' equations:
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Eliminieren wir <math>y</math>, erhalten wir für <math>x</math> diese Gleichung
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+
-
 
+
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<math>\left\{ \begin{matrix}
+
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y=x+\text{2} \\
+
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y=x^{2} \\
+
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\end{matrix} \right.</math>
+
-
 
+
-
 
+
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By eliminating
+
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<math>y</math>, we obtain an equation for
+
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<math>x</math>,
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}=x+2\,\textrm{.}</math>}}
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<math>x^{2}=x+2</math>
+
Hohlen wir alle ''x''-Terme zu einer Seite erhalten wir
-
 
+
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+
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If we move all x-terms to the left-hand side,
+
-
 
+
-
 
+
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<math>x^{2}-x=2</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
and complete the square, we obtain
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2-x=2\,</math>.}}
-
<math>\begin{align}
+
Durch quadratische Ergänzung ergibt sich
-
& \left( x-\frac{1}{2} \right)^{2}-\left( \frac{1}{2} \right)^{2}=2 \\
+
-
& \left( x-\frac{1}{2} \right)^{2}=\frac{9}{4} \\
+
-
\end{align}</math>
+
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Taking the root then gives that
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
<math>x=\frac{1}{2}\pm \frac{3}{2}</math>. In other words,
+
\Bigl(x-\frac{1}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^2 &= 2\\[5pt]
-
<math>x=-\text{1}</math>
+
\Bigl(x-\frac{1}{2}\Bigr)^2 &= \frac{9}{4}\,\textrm{.}
-
and
+
\end{align}</math>}}
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<math>x=\text{2}</math>.
+
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The area of the region is now given by
+
Wir erhalten also die Wurzeln <math>x=\tfrac{1}{2}\pm \tfrac{3}{2}</math>, oder <math>x=-1</math> und <math>x=2\,</math>.
 +
Die Fläche ist also
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<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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& \text{Area}=\int\limits_{-1}^{2}{\left( x+2-x^{2} \right)}\,dx=\left[ \frac{x^{2}}{2}+2x-\frac{x^{3}}{3} \right]_{-1}^{2} \\
+
\text{Fläche}
-
& =\frac{2^{2}}{2}+2\centerdot 2-\frac{2^{3}}{3}-\left( \frac{\left( -1 \right)^{2}}{2}+2\centerdot \left( -1 \right)-\frac{\left( -1 \right)^{3}}{3} \right) \\
+
&= \int\limits_{-1}^2 \bigl(x+2-x^2\bigr)\,dx\\[5pt]
-
& =2+4-\frac{8}{3}-\frac{1}{2}+2-\frac{1}{3} \\
+
&= \Bigl[\ \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}\ \Bigr]_{-1}^2\\[5pt]
-
& =\frac{9}{2} \\
+
&= \frac{2^2}{2} + 2\cdot 2 - \frac{2^3}{3} - \Bigl( \frac{(-1)^2}{2} + 2\cdot (-1) - \frac{(-1)^3}{3}\Bigr)\\[5pt]
-
\end{align}</math>
+
&= 2 + 4 - \frac{8}{3} - \frac{1}{2} + 2 - \frac{1}{3}\\[5pt]
 +
&= \frac{9}{2}\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}

Aktuelle Version

Die doppelte Ungleichung bedeutet, dass y zwischen den Kurven \displaystyle y=x+2 und \displaystyle y=x^2 liegt.

In der Figur unten ist das Gebiet eingezeichnet.

Die Fläche des Gebietes ist

\displaystyle \text{Fläche} = \int\limits_a^b \bigl(x+2-x^2\bigr)\,dx\,\textrm{,}

wobei \displaystyle x=a und \displaystyle x=b die Schnittstellen der beiden Kurven sind, die wir durch folgende Gleichung erhalten

\displaystyle \left\{\begin{align}

y &= x+2\,,\\[5pt] y &= x^2\,\textrm{.} \end{align} \right.

Eliminieren wir \displaystyle y, erhalten wir für \displaystyle x diese Gleichung

\displaystyle x^{2}=x+2\,\textrm{.}

Hohlen wir alle x-Terme zu einer Seite erhalten wir

\displaystyle x^2-x=2\,.

Durch quadratische Ergänzung ergibt sich

\displaystyle \begin{align}

\Bigl(x-\frac{1}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^2 &= 2\\[5pt] \Bigl(x-\frac{1}{2}\Bigr)^2 &= \frac{9}{4}\,\textrm{.} \end{align}

Wir erhalten also die Wurzeln \displaystyle x=\tfrac{1}{2}\pm \tfrac{3}{2}, oder \displaystyle x=-1 und \displaystyle x=2\,.

Die Fläche ist also

\displaystyle \begin{align}

\text{Fläche} &= \int\limits_{-1}^2 \bigl(x+2-x^2\bigr)\,dx\\[5pt] &= \Bigl[\ \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}\ \Bigr]_{-1}^2\\[5pt] &= \frac{2^2}{2} + 2\cdot 2 - \frac{2^3}{3} - \Bigl( \frac{(-1)^2}{2} + 2\cdot (-1) - \frac{(-1)^3}{3}\Bigr)\\[5pt] &= 2 + 4 - \frac{8}{3} - \frac{1}{2} + 2 - \frac{1}{3}\\[5pt] &= \frac{9}{2}\,\textrm{.} \end{align}

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