Lösung 2.1:4b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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By completing the square of the equation of the curve
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Durch quadratische Ergänzung erhalten wir
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+
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<math>\begin{align}
+
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& y=-x^{2}+2x+2=-\left( x^{2}-2x-2 \right) \\
+
-
& =-\left( \left( x-1 \right)^{2}-1^{2}-2 \right)=-\left( x-1 \right)^{2}+3 \\
+
-
\end{align}</math>
+
-
 
+
-
 
+
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we can read off that the curve is a downward parabola with maximum value
+
-
<math>y=\text{3 }</math>
+
-
when
+
-
<math>x=\text{1}</math>
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
y &= -x^2 + 2x + 2\\[5pt]
 +
&= -\bigl(x^2 - 2x- 2\bigr)\\[5pt]
 +
&= -\bigl((x-1)^2 - 1^2 - 2\bigr)\\[5pt]
 +
&= -(x-1)^2 + 3 \textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
 +
Wir sehen, dass die Funktion eine Parabel mit dem Maximum <math>y=3</math> bei <math>x=1</math> ist.
[[Image:2_1_4_b.gif|center]]
[[Image:2_1_4_b.gif|center]]
 +
Die Fläche, die wir bestimmen sollen, ist im Bild schraffiert.
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The region whose area we shall determine is the one shaded in the figure.
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Diese Fläche bestimmen wir mit dem Integral
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+
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We can express this area using the integral
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-
 
+
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Area=
+
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<math>\int\limits_{a}^{b}{\left( -x^{2}+2x+2 \right)}\,dx</math>
+
-
 
+
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where
+
-
<math>a</math>
+
-
and
+
-
<math>b</math>
+
-
are the
+
-
<math>x</math>
+
-
-coordinates for the points of intersection between the parabola and the
+
-
<math>x</math>
+
-
-axis.
+
-
 
+
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A solution plan is to first determine the intersection points,
+
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<math>x=a</math>
+
-
and
+
-
<math>x=b</math>, and then calculate the area using the integral formula above.
+
-
 
+
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The parabola cuts the
+
-
<math>x</math>
+
-
-axis when its
+
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<math>y</math>
+
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-coordinate is zero, i.e.
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>0=-x^{2}+2x+2</math>
+
-
 
+
-
 
+
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and because we have already completed the square of the right-hand side once, the equation can be written as
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>0=-\left( x-1 \right)^{2}+3</math>
+
-
 
+
-
or
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Fläche} = \int\limits_a^b \bigl(-x^2+2x+2\bigr)\,dx\,,</math>}}
-
<math>\left( x-1 \right)^{2}=3</math>.
+
wobei ''a'' und ''b'' die Schnittstellen der Parabel und der ''x''-Achse sind, also die Wurzeln von
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Taking the root gives
+
{{Abgesetzte Formel||<math>0=-x^{2}+2x+2</math>}}
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<math>x=1\pm \sqrt{3}</math>. The points of intersection
+
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<math>x=1-\sqrt{3}</math>
+
-
and
+
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<math>x=1+\sqrt{3}</math>.
+
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The area we are looking for is therefore given by
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oder, durch quadratische Ergänzung (siehe oben)
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Area
+
{{Abgesetzte Formel||<math>0=-(x-1)^2+3 \textrm{,}</math>}}
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<math>=\int\limits_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}}{\left( -x^{2}+2x+2 \right)}\,dx</math>
+
 +
also
-
Instead of directly starting to calculate, we can start from the integrand in the form we obtain after completing its square,
+
{{Abgesetzte Formel||<math>(x-1)^2=3\,\textrm{.}</math>}}
-
Area=
+
Die Gleichung hat also die Wurzeln <math>x = 1\pm \sqrt{3}\</math> , <math>x=1-\sqrt{3}</math> und <math>x=1+\sqrt{3}\</math>.
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<math>=\int\limits_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}}{\left( -\left( x-1 \right)^{2}+3 \right)}\,dx</math>
+
 +
Die Fläche ist also
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which seems easier. Because the expression
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Fläche} = \int\limits_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}} \bigl(-x^2+2x+2\bigr)\,dx\,\textrm{.}</math>}}
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<math>x-1</math>
+
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inside the square is a linear expression, we can write down a primitive function “in the usual way”,
+
-
Area
+
Wir schreiben hier den Integranden in die quadratisch ergänzte Form.
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<math>=\left[ -\frac{\left( x-1 \right)^{3}}{3}+3x \right]_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}}</math>
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Fläche} = \int\limits_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}} \bigl( -(x-1)^2 + 3\bigr)\,dx\,,</math>}}
-
(If one is uncertain of this step, it is possible to differentiate the primitive function and see that one really does get the integral back). Hence,
+
So erhalten wir die Stammfunktion
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\text{Fläche} = \Bigl[\ -\frac{(x-1)^3}{3} + 3x\ \Bigr]_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}}\,</math>.}}
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<math>\begin{align}
+
Daraus folgt
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& \text{Area}=-\frac{\left( 1+\sqrt{3}-1 \right)^{3}}{3}+3\left( 1+\sqrt{3} \right)-\left( -\frac{\left( 1-\sqrt{3}-1 \right)^{3}}{3}+3\left( 1-\sqrt{3} \right) \right) \\
+
-
& =-\frac{\left( \sqrt{3} \right)^{3}}{3}+3+3\sqrt{3}+\frac{\left( -\sqrt{3} \right)^{3}}{3}-3+3\sqrt{3} \\
+
-
& =-\frac{\sqrt{3}\sqrt{3}\sqrt{3}}{3}+3\sqrt{3}+\frac{\left( -\sqrt{3} \right)\left( -\sqrt{3} \right)\left( -\sqrt{3} \right)}{3}+3\sqrt{3} \\
+
-
& =-\frac{3\sqrt{3}}{3}+3\sqrt{3}-\frac{3\sqrt{3}}{3}+3\sqrt{3} \\
+
-
& =-\sqrt{3}+3\sqrt{3}-\sqrt{3}+3\sqrt{3} \\
+
-
& =\left( -1+3-1+3 \right)\sqrt{3}=4\sqrt{3} \\
+
-
\end{align}</math>
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\text{Fläche} &= -\frac{(1+\sqrt{3}-1)^3}{3}+3(1+\sqrt{3}\,)-\Bigl(-\frac{(1-\sqrt{3}-1)^3}{3}+3(1-\sqrt{3}\,)\Bigr)\\[5pt]
 +
&= -\frac{(\sqrt{3}\,)^3}{3} + 3 + 3\sqrt{3} + \frac{(-\sqrt{3}\,)^3}{3} - 3 + 3\sqrt{3}\\[5pt]
 +
&= -\frac{\sqrt{3}\sqrt{3}\sqrt{3}}{3} + 3\sqrt{3} + \frac{(-\sqrt{3}\,)(-\sqrt{3}\,)(-\sqrt{3}\,)}{3} + 3\sqrt{3}\\[5pt]
 +
&= -\frac{3\sqrt{3}}{3} + 3\sqrt{3} - \frac{3\sqrt{3}}{3} + 3\sqrt{3}\\[5pt]
 +
&= -\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - \sqrt{3} + 3\sqrt{3}\\[5pt]
 +
&= (-1+3-1+3)\sqrt{3}\\[5pt]
 +
&= 4\sqrt{3}\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
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NOTE: The calculations become a lot more complicated if one starts from
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Hinweis: Die Rechnungen werden umständlich, wenn wir mit dem Ausdruck
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{{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}}{\bigl(-x^2+2x+2 \bigr)}\,dx = \cdots</math>}}
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<math>=\int\limits_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}}{\left( -x^{2}+2x+2 \right)}\,dx=....</math>
+
rechnen.

Aktuelle Version

Durch quadratische Ergänzung erhalten wir

\displaystyle \begin{align}

y &= -x^2 + 2x + 2\\[5pt] &= -\bigl(x^2 - 2x- 2\bigr)\\[5pt] &= -\bigl((x-1)^2 - 1^2 - 2\bigr)\\[5pt] &= -(x-1)^2 + 3 \textrm{.} \end{align}

Wir sehen, dass die Funktion eine Parabel mit dem Maximum \displaystyle y=3 bei \displaystyle x=1 ist.

Die Fläche, die wir bestimmen sollen, ist im Bild schraffiert.

Diese Fläche bestimmen wir mit dem Integral

\displaystyle \text{Fläche} = \int\limits_a^b \bigl(-x^2+2x+2\bigr)\,dx\,,

wobei a und b die Schnittstellen der Parabel und der x-Achse sind, also die Wurzeln von

\displaystyle 0=-x^{2}+2x+2

oder, durch quadratische Ergänzung (siehe oben)

\displaystyle 0=-(x-1)^2+3 \textrm{,}

also

\displaystyle (x-1)^2=3\,\textrm{.}

Die Gleichung hat also die Wurzeln \displaystyle x = 1\pm \sqrt{3}\ , \displaystyle x=1-\sqrt{3} und \displaystyle x=1+\sqrt{3}\.

Die Fläche ist also

\displaystyle \text{Fläche} = \int\limits_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}} \bigl(-x^2+2x+2\bigr)\,dx\,\textrm{.}

Wir schreiben hier den Integranden in die quadratisch ergänzte Form.

\displaystyle \text{Fläche} = \int\limits_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}} \bigl( -(x-1)^2 + 3\bigr)\,dx\,,

So erhalten wir die Stammfunktion

\displaystyle \text{Fläche} = \Bigl[\ -\frac{(x-1)^3}{3} + 3x\ \Bigr]_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}}\,.

Daraus folgt

\displaystyle \begin{align}

\text{Fläche} &= -\frac{(1+\sqrt{3}-1)^3}{3}+3(1+\sqrt{3}\,)-\Bigl(-\frac{(1-\sqrt{3}-1)^3}{3}+3(1-\sqrt{3}\,)\Bigr)\\[5pt] &= -\frac{(\sqrt{3}\,)^3}{3} + 3 + 3\sqrt{3} + \frac{(-\sqrt{3}\,)^3}{3} - 3 + 3\sqrt{3}\\[5pt] &= -\frac{\sqrt{3}\sqrt{3}\sqrt{3}}{3} + 3\sqrt{3} + \frac{(-\sqrt{3}\,)(-\sqrt{3}\,)(-\sqrt{3}\,)}{3} + 3\sqrt{3}\\[5pt] &= -\frac{3\sqrt{3}}{3} + 3\sqrt{3} - \frac{3\sqrt{3}}{3} + 3\sqrt{3}\\[5pt] &= -\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - \sqrt{3} + 3\sqrt{3}\\[5pt] &= (-1+3-1+3)\sqrt{3}\\[5pt] &= 4\sqrt{3}\,\textrm{.} \end{align}

Hinweis: Die Rechnungen werden umständlich, wenn wir mit dem Ausdruck

\displaystyle \int\limits_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}}{\bigl(-x^2+2x+2 \bigr)}\,dx = \cdots

rechnen.

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