Lösung 2.1:3c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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If we multiply the factors in the integrand together and use the power laws,
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Wir multiplizieren die Faktoren mit einander und verwenden die Rechenregeln für Exponenten.
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\int e^{2x}\bigl(e^x+1\bigr)\,dx
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&= \int\bigl(e^{2x}e^{x} + e^{2x}\bigr)\,dx\\[5pt]
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&= \int\bigl(e^{2x+x} + e^{2x}\bigr)\,dx\\[5pt]
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&= \int{\bigl(e^{3x} + e^{2x}\bigr)}\,dx\,,
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\end{align}</math>}}
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<math>\begin{align}
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Die Integranden sind in der Form <math>e^{ax}</math>, wobei
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& \int{e^{2x}}\left( e^{x}+1 \right)\,dx=\int{\left( e^{2x}e^{x}+e^{2x} \right)}\,dx \\
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<math>a</math> eine Konstante ist. Daher erhalten wir
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& =\int{\left( e^{2x+x}+e^{2x} \right)}\,dx=\int{\left( e^{3x}+e^{2x} \right)}\,dx \\
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\end{align}</math>
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we obtain a standard integral with two terms of the type
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{{Abgesetzte Formel||<math>\int \bigl(e^{3x}+e^{2x}\bigr)\,dx = \frac{e^{3x}}{3} + \frac{e^{2x}}{2} + C\,,</math>}}
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<math>e^{ax}</math>, where
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<math>a</math>
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is a constant. The indefinite integral is therefore
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wobei <math>C</math> eine beliebige Konstante ist.
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<math>\int{\left( e^{3x}+e^{2x} \right)}\,dx=\frac{e^{3x}}{3}+\frac{e^{2x}}{2}+C</math>
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where
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<math>C</math>
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is an arbitrary constant.
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Aktuelle Version

Wir multiplizieren die Faktoren mit einander und verwenden die Rechenregeln für Exponenten.

\displaystyle \begin{align}

\int e^{2x}\bigl(e^x+1\bigr)\,dx &= \int\bigl(e^{2x}e^{x} + e^{2x}\bigr)\,dx\\[5pt] &= \int\bigl(e^{2x+x} + e^{2x}\bigr)\,dx\\[5pt] &= \int{\bigl(e^{3x} + e^{2x}\bigr)}\,dx\,, \end{align}

Die Integranden sind in der Form \displaystyle e^{ax}, wobei \displaystyle a eine Konstante ist. Daher erhalten wir

\displaystyle \int \bigl(e^{3x}+e^{2x}\bigr)\,dx = \frac{e^{3x}}{3} + \frac{e^{2x}}{2} + C\,,

wobei \displaystyle C eine beliebige Konstante ist.

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