Lösung 2.1:2c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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If we recall that
+
Wir erinnern uns daran, dass <math>\sqrt{x} = x^{1/2}</math> und erhalten
-
<math>\sqrt{x}=x^{{1}/{2}\;}</math>, the integral can be written as
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\int\limits_{4}^{9} \bigl(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\Bigr)\,dx
 +
&= \int\limits_{4}^{9}\Bigl( x^{1/2}-\frac{1}{x^{1/2}}\Bigr)\,dx\\[5pt]
 +
&= \int\limits_{4}^{9}\bigl(x^{1/2} - x^{-1/2}\bigr)\,dx\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
-
<math>\begin{align}
+
Dies ist ein Standardintegral mit nur <math>x^n</math>-Terme wo <math>n=1/2</math> und <math>n=-1/2\,</math>, in den beiden Termen ist.
-
& \int\limits_{4}^{9}{\left( \sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}} \right)}\,dx=\int\limits_{4}^{9}{\left( x^{{1}/{2}\;}-\frac{1}{x^{{1}/{2}\;}} \right)}\,dx \\
+
-
& =\int\limits_{4}^{9}{\left( x^{{1}/{2}\;}-x^{{-1}/{2}\;} \right)}\,dx \\
+
-
\end{align}</math>
+
 +
Wir erhalten das Integral
-
This is a standard integral in which the integrand consists of two terms looking like
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
<math>x^{n}</math>, where
+
\int\limits_{4}^{9} \bigl( x^{1/2}-x^{-1/2}\bigr)\,dx
-
<math>n=\frac{1}{2}</math>
+
&= \Bigl[\ \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} - \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1}\ \Bigr]_{4}^{9}\\[5pt]
-
and
+
&= \Bigl[\ \frac{x^{1+1/2}}{3/2} - \frac{x^{1/2}}{1/2}\ \Bigr]_{4}^{9}\\[5pt]
-
<math>n=-\frac{1}{2}</math>.
+
&= \Bigl[\ \frac{2}{3}x\sqrt{x} - 2\sqrt{x}\ \Bigr]_{4}^{9}\\[5pt]
-
 
+
&= \frac{2}{3}\cdot 9\cdot\sqrt{9} - 2\sqrt{9} - \Bigl(\frac{2}{3}\cdot 4\cdot \sqrt{4}-2\sqrt{4} \Bigr)\\[5pt]
-
We obtain
+
&= \frac{2}{3}\cdot 9\cdot 3 - 2\cdot 3 - \Bigl( \frac{2}{3}\cdot 4\cdot 2 - 2\cdot 2 \Bigr)\\[5pt]
-
 
+
&= 18-6-\frac{16}{3}+4\\[5pt]
-
 
+
&= 16-\frac{16}{3}\\[5pt]
-
<math>\begin{align}
+
&= \frac{16\cdot 3-16}{3}\\[5pt]
-
& \int\limits_{4}^{9}{\left( x^{{1}/{2}\;}-x^{{-1}/{2}\;} \right)}\,dx=\left[ \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}-\frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} \right]_{4}^{9} \\
+
&= \frac{32}{3}\,\textrm{.}
-
& =\left[ \frac{x^{1+\frac{1}{2}}}{\frac{3}{2}}-\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} \right]_{4}^{9} \\
+
\end{align}</math>}}
-
& =\left[ \frac{2}{3}x\sqrt{x}-2\sqrt{x} \right]_{4}^{9} \\
+
-
& =\frac{2}{3}\centerdot 9\centerdot \sqrt{9}-2\sqrt{9}-\left( \frac{2}{3}\centerdot 4\centerdot \sqrt{4}-2\sqrt{4} \right) \\
+
-
& =\frac{2}{3}93-2\centerdot 3-\left( \frac{2}{3}\centerdot 4\centerdot 2-2\centerdot 2 \right) \\
+
-
& =18-6-\frac{16}{3}+4=16-\frac{16}{3} \\
+
-
& =\frac{16\centerdot 3-16}{3}=\frac{32}{3} \\
+
-
\end{align}</math>
+

Aktuelle Version

Wir erinnern uns daran, dass \displaystyle \sqrt{x} = x^{1/2} und erhalten

\displaystyle \begin{align}

\int\limits_{4}^{9} \bigl(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\Bigr)\,dx &= \int\limits_{4}^{9}\Bigl( x^{1/2}-\frac{1}{x^{1/2}}\Bigr)\,dx\\[5pt] &= \int\limits_{4}^{9}\bigl(x^{1/2} - x^{-1/2}\bigr)\,dx\,\textrm{.} \end{align}

Dies ist ein Standardintegral mit nur \displaystyle x^n-Terme wo \displaystyle n=1/2 und \displaystyle n=-1/2\,, in den beiden Termen ist.

Wir erhalten das Integral

\displaystyle \begin{align}

\int\limits_{4}^{9} \bigl( x^{1/2}-x^{-1/2}\bigr)\,dx &= \Bigl[\ \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} - \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1}\ \Bigr]_{4}^{9}\\[5pt] &= \Bigl[\ \frac{x^{1+1/2}}{3/2} - \frac{x^{1/2}}{1/2}\ \Bigr]_{4}^{9}\\[5pt] &= \Bigl[\ \frac{2}{3}x\sqrt{x} - 2\sqrt{x}\ \Bigr]_{4}^{9}\\[5pt] &= \frac{2}{3}\cdot 9\cdot\sqrt{9} - 2\sqrt{9} - \Bigl(\frac{2}{3}\cdot 4\cdot \sqrt{4}-2\sqrt{4} \Bigr)\\[5pt] &= \frac{2}{3}\cdot 9\cdot 3 - 2\cdot 3 - \Bigl( \frac{2}{3}\cdot 4\cdot 2 - 2\cdot 2 \Bigr)\\[5pt] &= 18-6-\frac{16}{3}+4\\[5pt] &= 16-\frac{16}{3}\\[5pt] &= \frac{16\cdot 3-16}{3}\\[5pt] &= \frac{32}{3}\,\textrm{.} \end{align}

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