Lösung 2.1:2b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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There is no ready made standard formula for a primitive function to our integrand, but if we expand
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Erweitern wir zuerst den Ausdruck, erhalten wir
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\int\limits_{-1}^{2} (x-2)(x+1)\,dx
 +
&= \int\limits_{-1}^{2} (x^2+x-2x-2)\,dx\\[5pt]
 +
&= \int\limits_{-1}^{2} (x^2-x-2)\,dx
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\end{align}</math>}}
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<math>\begin{align}
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und wir erhalten das Integral
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& \int\limits_{-1}^{2}{\left( x-2 \right)\left( x+1 \right)\,dx}=\int\limits_{-1}^{2}{\left( x^{2}+x-2x-2 \right)}\,dx \\
+
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& \int\limits_{-1}^{2}{\left( x^{2}-x-2 \right)}\,dx \\
+
-
\end{align}</math>
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and write the last integral as
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{{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_{-1}^{2} (x^2-x^1-2x^0)\,dx\,\textrm{.}</math>}}
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<math>\int\limits_{-1}^{2}{\left( x^{2}-x^{1}-2x^{0} \right)}\,dx</math>
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we see that the integrand consists of three terms of the type
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Wir sehen dass der Integrand aus Termen auf der Form <math>x^n</math> besteht, und daher erhalten wir direkt die Stammfunktion.
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<math>x^{n}</math>
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and we can directly write down a primitive function:
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<math>\begin{align}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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& \int\limits_{-1}^{2}{\left( x^{2}-x^{1}-2x^{0} \right)}\,dx=\left[ \frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}-2\centerdot \frac{x}{1} \right]_{-1}^{2} \\
+
\int\limits_{-1}^{2} (x^2-x^1-2x^0)\,dx
-
& =\frac{2^{3}}{3}-\frac{2^{2}}{2}-2\centerdot \frac{2}{1}-\left( \frac{\left( -1 \right)^{3}}{3}-\frac{\left( -1 \right)^{2}}{2}-2\centerdot \frac{\left( -1 \right)}{1} \right) \\
+
&= \Bigl[\ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2\cdot\frac{x}{1}\ \Bigr]_{-1}^{2}\\[5pt]
-
& =\frac{8}{3}-\frac{4}{2}-4-\left( -\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+2 \right) \\
+
&= \frac{2^3}{3} - \frac{2^2}{2} - 2\cdot\frac{2}{1} - \Bigl(\frac{(-1)^3}{3} - \frac{(-1)^2}{2} - 2\cdot\frac{(-1)}{1}\Bigr)\\[5pt]
-
& =\frac{16-12-24+2+3-12}{6}=-\frac{27}{6}=-\frac{9}{2} \\
+
&= \frac{8}{3} - \frac{4}{2} - 4 - \Bigl(-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+2\Bigr)\\[5pt]
-
\end{align}</math>
+
&= \frac{16-12-24+2+3-12}{6}\\[5pt]
 +
&= -\frac{27}{6}\\[5pt]
 +
&= -\frac{9}{2}\,
 +
\end{align}</math>}}

Aktuelle Version

Erweitern wir zuerst den Ausdruck, erhalten wir

\displaystyle \begin{align}

\int\limits_{-1}^{2} (x-2)(x+1)\,dx &= \int\limits_{-1}^{2} (x^2+x-2x-2)\,dx\\[5pt] &= \int\limits_{-1}^{2} (x^2-x-2)\,dx \end{align}

und wir erhalten das Integral

\displaystyle \int\limits_{-1}^{2} (x^2-x^1-2x^0)\,dx\,\textrm{.}

Wir sehen dass der Integrand aus Termen auf der Form \displaystyle x^n besteht, und daher erhalten wir direkt die Stammfunktion.

\displaystyle \begin{align}

\int\limits_{-1}^{2} (x^2-x^1-2x^0)\,dx &= \Bigl[\ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2\cdot\frac{x}{1}\ \Bigr]_{-1}^{2}\\[5pt] &= \frac{2^3}{3} - \frac{2^2}{2} - 2\cdot\frac{2}{1} - \Bigl(\frac{(-1)^3}{3} - \frac{(-1)^2}{2} - 2\cdot\frac{(-1)}{1}\Bigr)\\[5pt] &= \frac{8}{3} - \frac{4}{2} - 4 - \Bigl(-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+2\Bigr)\\[5pt] &= \frac{16-12-24+2+3-12}{6}\\[5pt] &= -\frac{27}{6}\\[5pt] &= -\frac{9}{2}\, \end{align}

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