Lösung 2.1:1c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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The straight line
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Die Gerade <math>y=3-2x</math> schneidet die ''x''-Achse im Punkt
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<math>y=3-2x</math>
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cuts the
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<math>x</math>
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-axis at the point
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{{Abgesetzte Formel||<math>y=3-2x=0\quad \Leftrightarrow \quad x=3/2.</math>}}
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<math>y=3-2x=0\quad \Leftrightarrow \quad x={3}/{2}\;</math>
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Also liegt ein Teil der Geraden <math>x=3/2</math> unter der ''y''-Achse.
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so the part of the line to the right of
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<math>x=\frac{3}{2}</math>
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lies under the
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<math>y</math>
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-axis.
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-
 
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[[Image:2_1_1_c1.gif|center]]
[[Image:2_1_1_c1.gif|center]]
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When the curve of a function lies both above and below the
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Wenn wir das Integral berechen, müssen wir berücksichtigen, dass die Fläche, die unter der ''y''-Achse liegt, von der Fläche oberhalb der ''y''-Achse subtrahiert werden muss.
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<math>x</math>
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-axis, the value of the integral can be interpreted as “an area having a sign”, which means that, for that part where the curve is under the
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<math>x</math>
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-axis, we instead subtract the area between the curve and the
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<math>x</math>
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-axis.
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If we divide up the area between the straight line and the
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<math>x</math>
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-axis at
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<math>x={3}/{2}\;</math>, we see that the value of the integral is the area of the triangle to the left in the figure below, minus the area of the triangle to the right.
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Wir teilen unsere Fläche also in eine linke und eine rechte Fläche auf
[[Image:2_1_1_c2.gif|center]]
[[Image:2_1_1_c2.gif|center]]
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We obtain
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und erhalten
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<math>\int\limits_{0}^{2}{\left( 3-2x \right)\ }dx=\frac{1}{2}\centerdot \frac{3}{2}\centerdot 3-\frac{1}{2}\centerdot \frac{1}{2}\centerdot 1=\frac{9}{4}-\frac{1}{4}=2</math>
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{{Abgesetzte Formel||<math>\int\limits_{0}^{2} (3-2x)\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot 3 - \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot 1 = \frac{9}{4} - \frac{1}{4} = 2\,\textrm{.}</math>}}

Aktuelle Version

Die Gerade \displaystyle y=3-2x schneidet die x-Achse im Punkt

\displaystyle y=3-2x=0\quad \Leftrightarrow \quad x=3/2.

Also liegt ein Teil der Geraden \displaystyle x=3/2 unter der y-Achse.

Wenn wir das Integral berechen, müssen wir berücksichtigen, dass die Fläche, die unter der y-Achse liegt, von der Fläche oberhalb der y-Achse subtrahiert werden muss.

Wir teilen unsere Fläche also in eine linke und eine rechte Fläche auf

und erhalten

\displaystyle \int\limits_{0}^{2} (3-2x)\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot 3 - \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot 1 = \frac{9}{4} - \frac{1}{4} = 2\,\textrm{.}
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