Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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-	If we call the	+	Wir nennen die ''x''-Koordinate des Punktes <math>P</math> <math>x</math>. Die ''y''-Koordinate ist dann <math>1-x^{2}</math>, da <math>P</math> auf der Kurve <math>y=1-x^{2}</math> liegt.
-	<math>x</math>	+
-	-coordinate of the point	+
-	<math>P</math>	+
-	<math>x</math>, then its	+	[[Image:1_3_4-1-1.gif|center]]
-	<math>y</math>	+
-	-coordinate is	+
-	<math>1-x^{2}</math>, because	+
-	<math>P</math>	+
-	lies on the curve	+
-	<math>y=1-x^{2}</math>.	+
-	FIGURE	+	Die Fläche des Rechtecks ist
-	The area of the rectangle is then given by	+	{{Abgesetzte Formel||<math>A(x) = \text{(Basis)}\cdot\text{(Höhe)} = x\cdot (1-x^2)\,.</math>}}
		+	Wir wollen diese Fläche maximieren.
-	<math>A\left( x \right)=</math>	+	Wir sehen, dass <math>P</math> im ersten Quadranten liegen muss. Also <math>x\ge 0</math> und <math>y=1-x^2\ge 0</math>. Wir wissen nun, dass <math>x\le 1</math> ist. Also suchen wir das Maximum von <math>A(x)</math> im Bereich <math>0\le x\le 1\,</math>.
-	base *height	+
-	<math>=x\centerdot \left( 1-x^{2} \right)</math>.	+
		+	Lokale Extremstelle der Fläche sind entweder:
-	and we will try to choose	+	# stationäre Stellen mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
-	<math>x</math>	+	# singuläre Stellen, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
-	so that this area function is maximised.	+	# Randstellen.
		+	Die Funktion <math>A(x) = x(1-x^2)</math> ist überall differenzierbar, also kommt der zweite Fall nicht in Frage. Die Randstellen <math>A(0) = A(1) = 0\,</math> können aber lokale Extremstellen sein (offenbar lokale Minima).
-	To begin with, we note that, because	+	Die Ableitung der Funktion ist
-	<math>P</math>	+
-	should lie in the first quadrant,	+
-	<math>x\ge 0</math>	+
-	and also	+
-	<math>y=1-x^{2}\ge 0</math>, i.e.	+
-	<math>x\le 1</math>. We should therefore look for the maximum of	+
-	<math>A\left( x \right)</math>	+
-	when	+
-	<math>0\le x\le 1</math>.	+
-	There are three types of points which can maximise the area function:	+	{{Abgesetzte Formel||<math>A'(x) = 1\cdot (1-x^2) + x\cdot (-2x) = 1-3x^2\,</math>}}
-	1. critical points,	+	und wir erhalten die Gleichung <math>x=\pm 1/\!\sqrt{3}</math> für die stationären Stellen. <br> Nur die Lösung <math>x=1/\!\sqrt{3}</math> erfüllt aber <math>0\le x\le 1</math>.
-	2. points where the function is not differentiable,	+
-	3. endpoints of the region of definition.	+
-	The function	+	Die zweite Ableitung <math>A''(x)=-6x</math> hat in der stationären Stelle den Wert
-	<math>A\left( x \right)=x\left( 1-x^{2} \right)</math>	+
-	is differentiable everywhere, so item 2. does not apply. In addition,	+
-	<math>A\left( 0 \right)=A\left( 1 \right)=0</math>, so the endpoints in item 3. cannot be maximum points (but rather the opposite, i.e. minimum points).	+
-	We must therefore supposed that the maximum area is a critical point. We differentiate	+	{{Abgesetzte Formel||<math>A''\bigl( 1/\!\sqrt{3}\bigr) = -6\cdot\frac{1}{\sqrt{3}} < 0\,,</math>}}
		+	also hat die Flächenfunktion an der Stelle <math>x=1/\!\sqrt{3}</math> ein lokales Maximum.
-	<math>{A}'\left( x \right)=1\centerdot \left( 1-x^{2} \right)+x\centerdot \left( -2x \right)=1-3x^{2}</math>,	+	Also ist der optimale Punkt <math>P</math>
-	and the condition that the derivative should be zero gives that	+	{{Abgesetzte Formel||<math>P = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}, 1-\Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}} \Bigr)^2\, \Bigr) = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{2}{3} \Bigr)\,\textrm{.}</math>}}
-	<math>x=\pm {1}/{\sqrt{3}}\;</math>; however, it is only	+
-	<math>x={1}/{\sqrt{3}}\;</math>	+
-	which satisfies	+
-	<math>0\le x\le 1</math>	+
-	At the critical point, the second derivative	+
-	<math>{A}''</math>	+
-	has the value	+
-		+
-		+
-	<math>{A}''\left( {1}/{\sqrt{3}}\; \right)=-6\centerdot \frac{1}{\sqrt{3}}<0</math>,	+
-		+
-	which shows that	+
-	<math>{1}/{\sqrt{3}}\;</math>	+
-	is a local maximum.	+
-		+
-	The answer is that the point	+
-	<math>P</math>	+
-	should be chosen so that	+
-		+
-		+
-	<math>P=\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right.,\left. 1-\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^{2} \right)=\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right.,\left. \frac{2}{3} \right)</math>.	+

---

Aktuelle Version

Wir nennen die x-Koordinate des Punktes \displaystyle P \displaystyle x. Die y-Koordinate ist dann \displaystyle 1-x^{2}, da \displaystyle P auf der Kurve \displaystyle y=1-x^{2} liegt.

Die Fläche des Rechtecks ist

\displaystyle A(x) = \text{(Basis)}\cdot\text{(Höhe)} = x\cdot (1-x^2)\,.

Wir wollen diese Fläche maximieren.

Wir sehen, dass \displaystyle P im ersten Quadranten liegen muss. Also \displaystyle x\ge 0 und \displaystyle y=1-x^2\ge 0. Wir wissen nun, dass \displaystyle x\le 1 ist. Also suchen wir das Maximum von \displaystyle A(x) im Bereich \displaystyle 0\le x\le 1\,.

Lokale Extremstelle der Fläche sind entweder:

1. stationäre Stellen mit \displaystyle f^{\,\prime}(x)=0,
2. singuläre Stellen, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
3. Randstellen.

Die Funktion \displaystyle A(x) = x(1-x^2) ist überall differenzierbar, also kommt der zweite Fall nicht in Frage. Die Randstellen \displaystyle A(0) = A(1) = 0\, können aber lokale Extremstellen sein (offenbar lokale Minima).

Die Ableitung der Funktion ist

\displaystyle A'(x) = 1\cdot (1-x^2) + x\cdot (-2x) = 1-3x^2\,

und wir erhalten die Gleichung \displaystyle x=\pm 1/\!\sqrt{3} für die stationären Stellen.
Nur die Lösung \displaystyle x=1/\!\sqrt{3} erfüllt aber \displaystyle 0\le x\le 1.

Die zweite Ableitung \displaystyle A''(x)=-6x hat in der stationären Stelle den Wert

\displaystyle A''\bigl( 1/\!\sqrt{3}\bigr) = -6\cdot\frac{1}{\sqrt{3}} < 0\,,

also hat die Flächenfunktion an der Stelle \displaystyle x=1/\!\sqrt{3} ein lokales Maximum.

Also ist der optimale Punkt \displaystyle P

\displaystyle P = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}, 1-\Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}} \Bigr)^2\, \Bigr) = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{2}{3} \Bigr)\,\textrm{.}