Lösung 1.2:3f

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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We have no differentiation rule for a function raised to another function, but instead we use the formula
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Es gibt keine Regel, um die Funktion direkt abzuleiten. Stattdessen verwenden wir die Regel
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{{Displayed math||<math>a^b = e^{\ln a^b} = e^{b\ln a}\,,</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>a^b = e^{\ln a^b} = e^{b\ln a}\,.</math>}}
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which, in our case, gives
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Das ergibt
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{{Displayed math||<math>x^{\tan x} = e^{\tan x\cdot\ln x}\,\textrm{.}</math>|(*)}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>x^{\tan x} = e^{\tan x\cdot\ln x}\,\textrm{.}</math>|(*)}}
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Now, we obtain the derivative by first using the chain rule
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Jetzt leiten wir die Funktion mit der Kettenregel ab
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{{Displayed math||<math>\frac{d}{dx}\,e^{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\tan x\cdot\ln x}} = {}\rlap{e^{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\tan x\cdot\ln x}}\cdot \bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\tan x\cdot\ln x}\bigr)'}\phantom{e^{\tan x\cdot \ln x}\bigl((\tan x)'\cdot\ln x + \tan x\cdot (\ln x)'\bigr)}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{d}{dx}\,e^{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\tan x\cdot\ln x}} = {}\rlap{e^{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\tan x\cdot\ln x}}\cdot \bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\tan x\cdot\ln x}\bigr)'}\phantom{e^{\tan x\cdot \ln x}\bigl((\tan x)'\cdot\ln x + \tan x\cdot (\ln x)'\bigr)}</math>}}
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and then the product rule
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und verwenden die Faktorregel
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{{Displayed math||<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
\phantom{\frac{d}{dx}\,e^{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\tan x\cdot\ln x}}}{}
\phantom{\frac{d}{dx}\,e^{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\tan x\cdot\ln x}}}{}
&= e^{\tan x\cdot \ln x}\bigl((\tan x)'\cdot\ln x + \tan x\cdot (\ln x)'\bigr)\\[5pt]
&= e^{\tan x\cdot \ln x}\bigl((\tan x)'\cdot\ln x + \tan x\cdot (\ln x)'\bigr)\\[5pt]
Zeile 21: Zeile 21:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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where we have used (*) in reverse.
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wobei wir (*) rückwärts verwendet haben.

Aktuelle Version

Es gibt keine Regel, um die Funktion direkt abzuleiten. Stattdessen verwenden wir die Regel

\displaystyle a^b = e^{\ln a^b} = e^{b\ln a}\,.

Das ergibt

\displaystyle x^{\tan x} = e^{\tan x\cdot\ln x}\,\textrm{.} (*)

Jetzt leiten wir die Funktion mit der Kettenregel ab

\displaystyle \frac{d}{dx}\,e^{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\tan x\cdot\ln x}} = {}\rlap{e^{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\tan x\cdot\ln x}}\cdot \bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\tan x\cdot\ln x}\bigr)'}\phantom{e^{\tan x\cdot \ln x}\bigl((\tan x)'\cdot\ln x + \tan x\cdot (\ln x)'\bigr)}

und verwenden die Faktorregel

\displaystyle \begin{align}

\phantom{\frac{d}{dx}\,e^{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\tan x\cdot\ln x}}}{} &= e^{\tan x\cdot \ln x}\bigl((\tan x)'\cdot\ln x + \tan x\cdot (\ln x)'\bigr)\\[5pt] &= e^{\tan x\cdot\ln x}\Bigl(\frac{1}{\cos^2\!x}\cdot\ln x + \tan x\cdot\frac{1}{x} \Bigr)\\[5pt] &= e^{\tan x\cdot\ln x}\Bigl(\frac{\ln x}{\cos^2\!x} + \frac{\tan x}{x}\Bigr)\\[5pt] &= x^{\tan x}\Bigl(\frac{\ln x}{\cos^2\!x} + \frac{\tan x}{x}\Bigr)\,, \end{align}

wobei wir (*) rückwärts verwendet haben.

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