Lösung 1.2:3b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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The outer function in the expression is "the square root of something",
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Die äußere Funktion ist
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{{Displayed math||<math>\sqrt{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\frac{x+1}{x-1} } }</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\frac{x+1}{x-1} } }</math>}}
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and differentiating with the chain rule gives
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und mit der Kettenregel erhalten wir die Ableitung
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{{Displayed math||<math>\frac{d}{dx}\,\sqrt{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\frac{x+1}{x-1} } } = \frac{1}{2\sqrt{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\dfrac{x+1}{x-1} } } }\cdot \Bigl( \frac{x+1}{x-1}\Bigr)'\,\textrm{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{d}{dx}\,\sqrt{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\frac{x+1}{x-1} } } = \frac{1}{2\sqrt{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\dfrac{x+1}{x-1} } } }\cdot \Bigl( \frac{x+1}{x-1}\Bigr)'\,\textrm{.}</math>}}
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We establish the inner derivative by using the quotient rule,
+
Die innere Ableitung berechnen wir mit der Quotientenregel
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{{Displayed math||<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
\frac{d}{dx}\,\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}
\frac{d}{dx}\,\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}
&= \frac{1}{2\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}}\cdot\frac{(x+1)'\cdot (x-1) - (x+1)\cdot (x-1)'}{(x-1)^2}\\[5pt]
&= \frac{1}{2\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}}\cdot\frac{(x+1)'\cdot (x-1) - (x+1)\cdot (x-1)'}{(x-1)^2}\\[5pt]
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
where we have used the simplification
+
wo wir die Vereinfachungen
-
{{Displayed math||<math>\frac{\sqrt{x-1}}{(x-1)^2}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\sqrt{x-1}}{(x-1)^2}
= \frac{(x-1)^{1/2}}{(x-1)^2}
= \frac{(x-1)^{1/2}}{(x-1)^2}
= (x-1)^{1/2-2}
= (x-1)^{1/2-2}
= (x-1)^{-3/2}
= (x-1)^{-3/2}
-
= \frac{1}{(x-1)^{3/2}}\,\textrm{.}</math>}}
+
= \frac{1}{(x-1)^{3/2}}\,\textrm{}</math>}}
 +
 
 +
verwendet haben.

Aktuelle Version

Die äußere Funktion ist

\displaystyle \sqrt{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\frac{x+1}{x-1} } }

und mit der Kettenregel erhalten wir die Ableitung

\displaystyle \frac{d}{dx}\,\sqrt{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\frac{x+1}{x-1} } } = \frac{1}{2\sqrt{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\dfrac{x+1}{x-1} } } }\cdot \Bigl( \frac{x+1}{x-1}\Bigr)'\,\textrm{.}

Die innere Ableitung berechnen wir mit der Quotientenregel

\displaystyle \begin{align}

\frac{d}{dx}\,\sqrt{\frac{x+1}{x-1}} &= \frac{1}{2\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}}\cdot\frac{(x+1)'\cdot (x-1) - (x+1)\cdot (x-1)'}{(x-1)^2}\\[5pt] &= \frac{1}{2\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}}\cdot \frac{1\cdot (x-1) - (x+1)\cdot 1}{(x-1)^2}\\[5pt] &= \frac{1}{2\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}}\cdot \frac{-2}{(x-1)^2}\\[5pt] &= -\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x-1)^2}\\[5pt] &= -\frac{1}{(x-1)^{3/2}\sqrt{x+1}}\,, \end{align}

wo wir die Vereinfachungen

\displaystyle \frac{\sqrt{x-1}}{(x-1)^2}

= \frac{(x-1)^{1/2}}{(x-1)^2} = (x-1)^{1/2-2} = (x-1)^{-3/2} = \frac{1}{(x-1)^{3/2}}\,\textrm{}

verwendet haben.

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