Lösung 1.3:2c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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There are three types of points at which the function can have local extreme points:
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Lokale Extremstellen einer Funktion sind entweder:
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1. Critical points, i.e. where
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# stationäre Stellen mit <math>f^{\,\prime}(x)=0</math>,
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<math>{f}'\left( x \right)=0</math>;
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# singuläre Stellen, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
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# Randstellen.
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Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall definiert und überall differenzierbar. Also gibt es keine Extremstellen, die die Bedingungen 2 und 3 erfüllen.
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2. Points where the function is not differentiable;
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Die Ableitung null gesetzt, ergibt folgende Gleichung
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3. Endpoints of the interval of definition.
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{{Abgesetzte Formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 6x^2+6x-12 = 0\,\textrm{.}</math>}}
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Because our function is a polynomial, it is defined and differentiable everywhere, and therefore does not have any points which satisfy
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Dividieren wir durch 6 erhalten wir durch quadratische Ergänzung
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<math>2</math>
+
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and
+
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<math>3</math>.
+
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As regards
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{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x+\frac{1}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^2 - 2 = 0\,\textrm{.}</math>}}
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<math>1</math>, we set the derivative equal to zero and obtain the equation
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Und wir erhalten die Gleichung
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<math>{f}'\left( x \right)=6x^{2}+6x-12=0</math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x+\frac{1}{2}\Bigr)^2 = \frac{9}{4}</math>}}
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Dividing both sides by
+
mit den Lösungen
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<math>6</math>
+
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and completing the square, we obtain
+
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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x &= -\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{9}{4}} = -\frac{1}{2}-\frac{3}{2} = -2\,,\\[5pt]
 +
x &= -\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{9}{4}} = -\frac{1}{2}+\frac{3}{2} = 1\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
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<math>\left( x+\frac{1}{2} \right)^{2}-\left( \frac{1}{2} \right)^{2}-2=0</math>
+
Die Funktion hat also die stationären Stellen <math>x=-2</math> und <math>x=1</math>.
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This gives us the equation
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Wir erstellen eine Vorzeichentabelle und erhalten so die Extremstellen.
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{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
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|-
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|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>x</math>
 +
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"|
 +
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>-2</math>
 +
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"|
 +
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"| <math>1</math>
 +
|width="50px" align="center" style="background:#efefef;"|
 +
|-
 +
|width="50px" align="center"| <math>f^{\,\prime}(x)</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>+</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>0</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>-</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>0</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>+</math>
 +
|-
 +
|width="50px" align="center"| <math>f(x)</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>\nearrow</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>21</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>\searrow</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>-6</math>
 +
|width="50px" align="center"| <math>\nearrow</math>
 +
|}
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<math>\left( x+\frac{1}{2} \right)^{2}=\frac{9}{4}</math>
+
Die Funktion hat also ein lokales Maximum an der Stelle <math>x=-2</math> und ein lokales Minimum an der Stelle <math>x=1</math>.
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and taking the root gives the solutions
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+
-
 
+
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<math>x=-\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{9}{4}}=-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}=-2</math>
+
-
 
+
-
 
+
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<math>x=-\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{9}{4}}=-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=1</math>
+
-
 
+
-
 
+
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This means that if the function has several extreme points, they must lie between
+
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<math>x=-2\text{ }</math>
+
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and
+
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<math>x=1</math>.
+
-
 
+
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Then, we write down a sign table for the derivative, and read off the possible extreme points.
+
-
 
+
-
TABLE
+
-
 
+
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The function has a local maximum at
+
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<math>x=-2\text{ }</math>
+
-
and a local minimum at
+
-
<math>x=1</math>.
+
-
 
+
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We obtain the overall appearance of the graph of the function from the table and by calculating the value of the function at a few points.
+
-
 
+
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PICTURE TABLE
+
-
 
+
 +
Berechnen wir die Funktionswerte von einigen Stellen, können wir mit Hilfe der Vorzeichentabelle die Funktion zeichnen.
[[Image:1_3_2_c.gif|center]]
[[Image:1_3_2_c.gif|center]]

Aktuelle Version

Lokale Extremstellen einer Funktion sind entweder:

  1. stationäre Stellen mit \displaystyle f^{\,\prime}(x)=0,
  2. singuläre Stellen, in denen die Funktion nicht differenzierbar ist, oder
  3. Randstellen.

Da die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall definiert und überall differenzierbar. Also gibt es keine Extremstellen, die die Bedingungen 2 und 3 erfüllen.

Die Ableitung null gesetzt, ergibt folgende Gleichung

\displaystyle f^{\,\prime}(x) = 6x^2+6x-12 = 0\,\textrm{.}

Dividieren wir durch 6 erhalten wir durch quadratische Ergänzung

\displaystyle \Bigl(x+\frac{1}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^2 - 2 = 0\,\textrm{.}

Und wir erhalten die Gleichung

\displaystyle \Bigl(x+\frac{1}{2}\Bigr)^2 = \frac{9}{4}

mit den Lösungen

\displaystyle \begin{align}

x &= -\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{9}{4}} = -\frac{1}{2}-\frac{3}{2} = -2\,,\\[5pt] x &= -\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{9}{4}} = -\frac{1}{2}+\frac{3}{2} = 1\,\textrm{.} \end{align}

Die Funktion hat also die stationären Stellen \displaystyle x=-2 und \displaystyle x=1.

Wir erstellen eine Vorzeichentabelle und erhalten so die Extremstellen.

\displaystyle x \displaystyle -2 \displaystyle 1
\displaystyle f^{\,\prime}(x) \displaystyle + \displaystyle 0 \displaystyle - \displaystyle 0 \displaystyle +
\displaystyle f(x) \displaystyle \nearrow \displaystyle 21 \displaystyle \searrow \displaystyle -6 \displaystyle \nearrow

Die Funktion hat also ein lokales Maximum an der Stelle \displaystyle x=-2 und ein lokales Minimum an der Stelle \displaystyle x=1.

Berechnen wir die Funktionswerte von einigen Stellen, können wir mit Hilfe der Vorzeichentabelle die Funktion zeichnen.

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