Lösung 1.3:1b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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(Replaced a and b with -1 and 1, respectively)
 
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There are two points,
+
Es gibt zwei Stellen, <math>x=-1</math> und <math>x=1</math> (siehe Bild), an denen die Ableitung null ist. Dies sind die stationären Stellen.
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<math>x=a</math>
+
-
and
+
-
<math>x=b</math>
+
-
(see picture below), where the function has a horizontal tangent and hence a derivative equal to zero. These are the functions critical points.
+
 +
<center>{{:1.3.1b - Solution - The graph with horizontal tangents}}</center>
-
[[Image:1_3_1_b1.gif|center]]
+
Weiter hat die Funktion im linken Endpunkt des Intervals und an der Stelle <math>x=1</math> ein lokales Minimum. Die Funktion hat lokale Maxima an den Stellen <math>x=-1</math> und im rechten Endpunkt des Definitionsbereiches.
-
Furthermore, we see that the function has local minimum points at the left endpoint of the interval of definition and
+
Von diesen Stellen ist im linke Endpunkt des Definitionsbereiches das globale Minimum und an der Stelle <math>x=-1</math> liegt das globale Maximum.
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<math>x=b</math>, because the function takes higher values at neighbouring points. In the same way, we see that the function has local maximum points at
+
Die Funktion hat keine Sattelpunkte.
-
<math>x=a</math>
+
-
and at the right endpoint of the interval of definition.
+
-
Of these local extreme points, the left endpoint is a global minimum (that point where the function takes its absolute minimum value) and the right endpoint is a global maximum.
+
<center>{{:1.3.1b - Solution - The graph with max's and min's labeled}}</center>
 +
Die Funktion ist zwischen dem linken Endpunkt des Definitionsbereiches und <math>x=-1</math> streng monoton steigend sowie zwischen <math>x=1</math> und dem rechten Endpunkt des Definitionsbereiches. Zwischen <math>x=-1</math> und <math>x=1</math> ist die Funktion streng monoton fallend.
-
 
+
{| align="center"
-
[[Image:1_3_1_b2.gif|center]]
+
||{{:1.3.1b - Solution - The graph with the interval where the function is increasing}}
-
 
+
|width="20px"|&nbsp;
-
The function is strictly increasing (it has a tangent that slopes upwards) in the interval between the left endpoint and
+
||{{:1.3.1b - Solution - The graph with the interval where the function is decreasing}}
-
<math>x=a</math>, as well as between
+
|-
-
<math>x=b</math>
+
|align="center"|<small>streng monoton steigend</small>
-
and the right endpoint. In the interval between
+
||
-
<math>x=0</math>
+
|align="center"|<small>streng monoton fallend</small>
-
and
+
|}
-
<math>x=b</math>, the function is strictly decreasing.
+
-
 
+
-
 
+
-
[[Image:1_3_1_b3.gif|center]]
+

Aktuelle Version

Es gibt zwei Stellen, \displaystyle x=-1 und \displaystyle x=1 (siehe Bild), an denen die Ableitung null ist. Dies sind die stationären Stellen.

[Image]

Weiter hat die Funktion im linken Endpunkt des Intervals und an der Stelle \displaystyle x=1 ein lokales Minimum. Die Funktion hat lokale Maxima an den Stellen \displaystyle x=-1 und im rechten Endpunkt des Definitionsbereiches.

Von diesen Stellen ist im linke Endpunkt des Definitionsbereiches das globale Minimum und an der Stelle \displaystyle x=-1 liegt das globale Maximum. Die Funktion hat keine Sattelpunkte.

[Image]


Die Funktion ist zwischen dem linken Endpunkt des Definitionsbereiches und \displaystyle x=-1 streng monoton steigend sowie zwischen \displaystyle x=1 und dem rechten Endpunkt des Definitionsbereiches. Zwischen \displaystyle x=-1 und \displaystyle x=1 ist die Funktion streng monoton fallend.

[Image]

 

[Image]

streng monoton steigend streng monoton fallend
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