Lösung 1.1:2f

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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We can rewrite the function using a trigonometric addition formula,
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Wir verwenden das Additionstheorem für den Cosinus.
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{{Displayed math||<math>f(x) = \cos\Bigl(x+\frac{\pi}{3}\Bigr) = \cos x\cdot\cos \frac{\pi}{3} - \sin x\cdot\sin\frac{\pi}{3}\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>f(x) = \cos\Bigl(x+\frac{\pi}{3}\Bigr) = \cos x\cdot\cos \frac{\pi}{3} - \sin x\cdot\sin\frac{\pi}{3}\,\textrm{}</math>}}
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If we now differentiate this expression, <math>\cos (\pi/3)</math> and <math>\sin (\pi/3)</math> are constants and we obtain
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Wenn wir die Funktion ableiten, bedenken wir, dass <math>\cos (\pi/3)</math> und <math>\sin (\pi/3)</math> Konstanten sind.
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{{Displayed math||<math>\begin{align}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
f^{\,\prime}(x)
f^{\,\prime}(x)
&= \frac{d}{dx}\,\Bigl(\cos x\cdot\cos\frac{\pi}{3} - \sin x\cdot\sin\frac{\pi}{3} \Bigr)\\[5pt]
&= \frac{d}{dx}\,\Bigl(\cos x\cdot\cos\frac{\pi}{3} - \sin x\cdot\sin\frac{\pi}{3} \Bigr)\\[5pt]
&= \cos\frac{\pi}{3}\cdot\frac{d}{dx}\,\cos x - \sin\frac{\pi}{3}\cdot\frac{d}{dx}\,\sin x\\[5pt]
&= \cos\frac{\pi}{3}\cdot\frac{d}{dx}\,\cos x - \sin\frac{\pi}{3}\cdot\frac{d}{dx}\,\sin x\\[5pt]
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&= \cos\frac{\pi}{3}\cdot (-\sin x) - \sin\frac{\pi}{3}\cdot\cos x\,\textrm{.}
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&= \cos\frac{\pi}{3}\cdot (-\sin x) - \sin\frac{\pi}{3}\cdot\cos x\,\textrm{}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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If we then use the addition formula in reverse, this gives
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Verwenden wir wieder das Additionstheorem, erhalten wir
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{{Displayed math||<math>\begin{align}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
f^{\,\prime}(x)
f^{\,\prime}(x)
&= -\Bigl(\sin x\cdot\cos\frac{\pi}{3} + \cos x\cdot\sin\frac{\pi}{3}\Bigr)\\[5pt]
&= -\Bigl(\sin x\cdot\cos\frac{\pi}{3} + \cos x\cdot\sin\frac{\pi}{3}\Bigr)\\[5pt]
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Note: In the next section, we will go through differentiation rules which make it possible to differentiate the expression directly without rewriting in this way.
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Hinweis: Im nächsten Abschnitt sehen wir, dass solche Ausdrücke direkt abgeleitet werden können, ohne die Additionsthoreme benutzen zu müssen.

Aktuelle Version

Wir verwenden das Additionstheorem für den Cosinus.

\displaystyle f(x) = \cos\Bigl(x+\frac{\pi}{3}\Bigr) = \cos x\cdot\cos \frac{\pi}{3} - \sin x\cdot\sin\frac{\pi}{3}\,\textrm{}

Wenn wir die Funktion ableiten, bedenken wir, dass \displaystyle \cos (\pi/3) und \displaystyle \sin (\pi/3) Konstanten sind.

\displaystyle \begin{align}

f^{\,\prime}(x) &= \frac{d}{dx}\,\Bigl(\cos x\cdot\cos\frac{\pi}{3} - \sin x\cdot\sin\frac{\pi}{3} \Bigr)\\[5pt] &= \cos\frac{\pi}{3}\cdot\frac{d}{dx}\,\cos x - \sin\frac{\pi}{3}\cdot\frac{d}{dx}\,\sin x\\[5pt] &= \cos\frac{\pi}{3}\cdot (-\sin x) - \sin\frac{\pi}{3}\cdot\cos x\,\textrm{} \end{align}

Verwenden wir wieder das Additionstheorem, erhalten wir

\displaystyle \begin{align}

f^{\,\prime}(x) &= -\Bigl(\sin x\cdot\cos\frac{\pi}{3} + \cos x\cdot\sin\frac{\pi}{3}\Bigr)\\[5pt] &= -\sin\Bigl(x+\frac{\pi}{3}\Bigr)\,\textrm{.} \end{align}


Hinweis: Im nächsten Abschnitt sehen wir, dass solche Ausdrücke direkt abgeleitet werden können, ohne die Additionsthoreme benutzen zu müssen.

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