Lösung 1.2:3a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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There is a "ln of something", so a first step in the differentiation is to take the derivative of the logarithm:
+
Als ersten Schritt berechnen wir die Ableitung der äußeren Logarithmusfunktion.
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{d}{dx}\,\ln\bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}} \bigr) = {}\rlap{\frac{1}{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}}\cdot \bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}} \bigr)'\,\textrm{}}\phantom{\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}\cdot \Bigl[\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{x+1}}\cdot (x+1)'\Bigr]}</math>}}
-
<math>\frac{d}{dx}\ln \left( \left\{ \left. \sqrt{x}+\sqrt{x+1} \right\} \right. \right)=\frac{1}{\left\{ \left. \sqrt{x}+\sqrt{x+1} \right\} \right.}\centerdot \left( \left\{ \left. \sqrt{x}+\sqrt{x+1} \right\} \right. \right)^{\prime }</math>
+
Wir leiten den Ausdruck <math>\sqrt{x}+\sqrt{x+1}</math> Term für Term ab und erhalten
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\phantom{\frac{d}{dx}\,\ln\bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}} \bigr)}{} = {}\rlap{\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}\cdot \bigl[ (\sqrt{x})' + (\sqrt{x+1})'\bigr]\textrm{.}}\phantom{\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}\cdot \Bigl[\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{x+1}}\cdot (x+1)'\Bigr]}</math>}}
-
We can carry out the differentiation of
+
Danach leiten wir die Funktionen <math>\sqrt{x}</math> und <math>\sqrt{x+1}</math> direkt ab.
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<math>\sqrt{x}+\sqrt{x+1}</math>
+
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on the right-hand side term by term to obtain
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
\phantom{\frac{d}{dx}\,\ln\bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}} \bigr)}{}
 +
&= \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}\cdot \Bigl[\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{x+1}}\cdot (x+1)'\Bigr]\\[5pt]
 +
&= \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}\cdot \Bigl[\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{x+1}}\cdot 1\Bigr]\,\textrm{}
 +
\end{align}</math>}}
-
<math>\quad =\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}\centerdot \left[ \left( \sqrt{x} \right)^{\prime }+\left( \sqrt{x+1} \right)^{\prime } \right]</math>
+
Schreiben wir die Brüche mit gemeinsamen Nenner erhalten wir
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\phantom{\frac{d}{dx}\,\ln\bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}} \bigr)}{}
 +
= {}\rlap{\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}\cdot \Bigl[\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2\sqrt{x}\sqrt{x+1}} \Bigr]\,.}\phantom{\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}\cdot \Bigl[\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{x+1}}\cdot (x+1)'\Bigr]}</math>}}
-
and it remains then only to differentiate
+
Wir kürzen den Bruch mit <math>\sqrt{x+1}+\sqrt{x}</math> und erhalten
-
<math>\sqrt{x}</math>,which we do directly, and
+
-
<math>\sqrt{x+1}</math>
+
-
which a simple inner derivative)
+
-
 
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\phantom{\frac{d}{dx}\,\ln\bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}} \bigr)}{}
-
<math></math>
+
= {}\rlap{\frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{x+1}}\,\textrm{.}}\phantom{\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}\cdot \Bigl[\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{x+1}}\cdot (x+1)'\Bigr]}</math>}}
-
 
+
-
<math>\begin{align}
+
-
& =\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}\centerdot \left[ \frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{x+1}}\centerdot \left( x+1 \right)^{\prime } \right] \\
+
-
& =\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}\centerdot \left[ \frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{x+1}}\centerdot 1 \right] \\
+
-
\end{align}</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
 
+
-
If we rewrite the expression inside the square brackets using a common denominator, we get
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}\centerdot \left[ \frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2\sqrt{x}\sqrt{x+1}} \right]</math>,
+
-
 
+
-
and we can then eliminate the factor
+
-
<math>\sqrt{x+1}+\sqrt{x}</math>
+
-
from the numerator and denominator to get
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>=\frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{x+1}}</math>
+

Aktuelle Version

Als ersten Schritt berechnen wir die Ableitung der äußeren Logarithmusfunktion.

\displaystyle \frac{d}{dx}\,\ln\bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}} \bigr) = {}\rlap{\frac{1}{\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}}\cdot \bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}} \bigr)'\,\textrm{}}\phantom{\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}\cdot \Bigl[\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{x+1}}\cdot (x+1)'\Bigr]}

Wir leiten den Ausdruck \displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{x+1} Term für Term ab und erhalten

\displaystyle \phantom{\frac{d}{dx}\,\ln\bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}} \bigr)}{} = {}\rlap{\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}\cdot \bigl[ (\sqrt{x})' + (\sqrt{x+1})'\bigr]\textrm{.}}\phantom{\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}\cdot \Bigl[\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{x+1}}\cdot (x+1)'\Bigr]}

Danach leiten wir die Funktionen \displaystyle \sqrt{x} und \displaystyle \sqrt{x+1} direkt ab.

\displaystyle \begin{align}

\phantom{\frac{d}{dx}\,\ln\bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}} \bigr)}{} &= \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}\cdot \Bigl[\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{x+1}}\cdot (x+1)'\Bigr]\\[5pt] &= \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}\cdot \Bigl[\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{x+1}}\cdot 1\Bigr]\,\textrm{} \end{align}

Schreiben wir die Brüche mit gemeinsamen Nenner erhalten wir

\displaystyle \phantom{\frac{d}{dx}\,\ln\bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}} \bigr)}{}

= {}\rlap{\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}\cdot \Bigl[\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2\sqrt{x}\sqrt{x+1}} \Bigr]\,.}\phantom{\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}\cdot \Bigl[\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{x+1}}\cdot (x+1)'\Bigr]}

Wir kürzen den Bruch mit \displaystyle \sqrt{x+1}+\sqrt{x} und erhalten

\displaystyle \phantom{\frac{d}{dx}\,\ln\bigl( \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}} \bigr)}{}

= {}\rlap{\frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{x+1}}\,\textrm{.}}\phantom{\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}\cdot \Bigl[\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{x+1}}\cdot (x+1)'\Bigr]}

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