Lösung 1.2:2f

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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The entire expression is made up of several levels,
+
Die Funktion ist mehrmals verkettet
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{{Abgesetzte Formel||<math>\cos \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{\bbox[#FFCC33;,1.5pt]{1-x} } }</math>}}
-
<math>\cos \left\{ \left. \sqrt{\left\{ \left. 1-x \right\} \right.} \right\} \right.</math>
+
Die äußerste Ableitung erhalten wir, indem wir den Ausdruck
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\phantom{\sqrt{\bbox[#FFCC33;,1.5pt]{1-x} } } }\,</math>}}
-
and when we differentiate we go from the outside inwards. In the first stage, we consider the expression as "cos of something",
+
mit der Kettenregel ableiten.
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{d}{dx}\,\cos \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{1-x} } = -\sin \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{1-x} }\cdot \bigl(\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{1-x} }\,\bigr)'\,\textrm{}</math>}}
-
<math>\cos \left\{ \left. {} \right\} \right.</math>
+
Im nächsten Schritt haben wir die verkettete Funktion "die Wurzel von ..."
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\bigl( \sqrt{\bbox[#FFCC33;,1.5pt]{1-x}}\,\bigr)' = \frac{1}{2\sqrt{\bbox[#FFCC33;,1.5pt]{1-x}}}\cdot \bbox[#FFCC33;,1.5pt]{(1-x)}^{\,\prime}\,,</math>}}
-
and differentiate this using the chain rule:
+
wo wir
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{d}{dx}\,\bigl(\sqrt{x}\,\bigr) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\,\textrm{.}</math>}}
-
<math>\frac{d}{dx}\cos \left\{ \left. \sqrt{1-x} \right\} \right.=-\sin \left\{ \left. \sqrt{1-x} \right\} \right.\centerdot \left( \left\{ \left. \sqrt{1-x} \right\} \right. \right)^{\prime }</math>
+
verwendet haben.
 +
Die Ableitung der ganzen Funktion ist also
-
In the next differentiation, we have "the root of something",
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
 
+
\frac{d}{dx}\cos\sqrt{1-x}
-
 
+
&= -\sin\sqrt{1-x}\cdot\frac{d}{dx}\,\sqrt{1-x}\\[5pt]
-
<math>\left( \sqrt{\left\{ \left. 1-x \right\} \right.} \right)^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{1-x}}\centerdot \left( 1-x \right)^{\prime }</math>
+
&= -\sin\sqrt{1-x}\cdot\frac{1}{2\sqrt{1-x}}\cdot\frac{d}{dx}\,(1-x)\\[5pt]
-
 
+
&= -\sin\sqrt{1-x}\cdot\frac{1}{2\sqrt{1-x}}\cdot (-1)\\[5pt]
-
 
+
&= \frac{\sin\sqrt{1-x}}{2\sqrt{1-x}}\,\textrm{.}
-
where we have used the differentiation rule,
+
\end{align}</math>}}
-
 
+
-
 
+
-
<math>\frac{d}{dx}\left( \sqrt{x} \right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
for the outer derivative.
+
-
 
+
-
The whole differentiation in one go becomes:
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\begin{align}
+
-
& \frac{d}{dx}\cos \sqrt{1-x}=-\sin \sqrt{1-x}\centerdot \frac{d}{dx}\sqrt{1-x} \\
+
-
& =-\sin \sqrt{1-x}\centerdot \frac{1}{2\sqrt{1-x}}\centerdot \frac{d}{dx}\left( 1-x \right) \\
+
-
& =-\sin \sqrt{1-x}\centerdot \frac{1}{2\sqrt{1-x}}\centerdot \left( -1 \right) \\
+
-
& =\frac{\sin \sqrt{1-x}}{2\sqrt{1-x}} \\
+
-
\end{align}</math>
+

Aktuelle Version

Die Funktion ist mehrmals verkettet

\displaystyle \cos \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{\bbox[#FFCC33;,1.5pt]{1-x} } }

Die äußerste Ableitung erhalten wir, indem wir den Ausdruck

\displaystyle \cos \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\phantom{\sqrt{\bbox[#FFCC33;,1.5pt]{1-x} } } }\,

mit der Kettenregel ableiten.

\displaystyle \frac{d}{dx}\,\cos \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{1-x} } = -\sin \bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{1-x} }\cdot \bigl(\bbox[#FFEEAA;,1.5pt]{\sqrt{1-x} }\,\bigr)'\,\textrm{}

Im nächsten Schritt haben wir die verkettete Funktion "die Wurzel von ..."

\displaystyle \bigl( \sqrt{\bbox[#FFCC33;,1.5pt]{1-x}}\,\bigr)' = \frac{1}{2\sqrt{\bbox[#FFCC33;,1.5pt]{1-x}}}\cdot \bbox[#FFCC33;,1.5pt]{(1-x)}^{\,\prime}\,,

wo wir

\displaystyle \frac{d}{dx}\,\bigl(\sqrt{x}\,\bigr) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\,\textrm{.}

verwendet haben.

Die Ableitung der ganzen Funktion ist also

\displaystyle \begin{align}

\frac{d}{dx}\cos\sqrt{1-x} &= -\sin\sqrt{1-x}\cdot\frac{d}{dx}\,\sqrt{1-x}\\[5pt] &= -\sin\sqrt{1-x}\cdot\frac{1}{2\sqrt{1-x}}\cdot\frac{d}{dx}\,(1-x)\\[5pt] &= -\sin\sqrt{1-x}\cdot\frac{1}{2\sqrt{1-x}}\cdot (-1)\\[5pt] &= \frac{\sin\sqrt{1-x}}{2\sqrt{1-x}}\,\textrm{.} \end{align}

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