Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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-	{{NAVCONTENT_START}}	+	Nachdem <math>z</math> und <math>\bar{z}</math> in der Gleichung sind, können wir <math>z</math> (oder <math>\bar{z}</math>) nicht dirket benutzen um die Gleichung zu lösen, benutzen statt dessen
-	Because the equation contains both <math>z</math> and <math>\bar{z}</math>, we cannot use <math>z</math> (or <math>\bar{z}</math>) alone as an unknown, so we are forced to set	+
		+	{{Abgesetzte Formel||<math>z=x+iy</math>}}
-	<math>z=x+iy</math>	+	und lösen die Gleichung für den Realteil <math>x</math> und den Imaginärteil <math>y</math>.
		+	Die linke Seite der Gleichung wird dann
-	and use the real part <math>x</math> and the imaginary part <math>y</math> as unknowns.	+	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
		+	(1+i)(x-iy)+i(x+iy)
		+	&= 1\cdot x -1\cdot iy +i\cdot x -i^2y + i\cdot x + i^2y\\[5pt]
		+	&= x-iy+ix+y+ix-y\\[5pt]
		+	&= x+(2x-y)i
		+	\end{align}</math>}}
-	With this approach, the left-hand side of the equation becomes	+	also ist die Gleichung
		+	{{Abgesetzte Formel||<math>x+(2x-y)i=3+5i\,\textrm{.}</math>}}
-	<math>(1+i)(x-iy)+i(x+iy)</math>	+	Die beiden Seiten sind gleich, wenn deren Real- und Imaginärteile gleich sind, daher erhalten wir
-	<math>	+	{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}x\phantom{{}-y}{}&=3\,,\\[5pt] 2x-y&=5\,\textrm{.}\end{align}\right.</math>}}
-	\begin{align} &=1\cdot x -1\cdot iy +i\cdot x -i^2y + i\cdot x + i^2y\\	+
-	&=x-iy+ix+y+ix-y\\	+
-	&=x+(2x-y)i\end{align}</math>	+
		+	Dies ergibt <math>x=3</math> und <math>y=2x-5=2\cdot 3-5=1</math>. Also ist die Lösung der Gleichung <math>z=3+i</math>.
-	and the whole equation becomes	+	Dies überprüfen wir einfach, indem wir <math>z=3+i</math> in der ursprünglichen Gleichung substituieren,
-		+	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-	<math>x+(2x-y)i=3+5i</math>.	+	\text{Linke Seite}
-		+	&= (1+i)\bar{z}+iz\\[5pt]
-		+	&= (1+i)(3-i)+i(3+i)\\[5pt]
-	The two complex numbers on the left- and right-hand sides are equal when both real and imaginary parts are equal, i.e.	+	&= 3-i+3i+1+3i-1\\[5pt]
-		+	&= 3+5i\\[5pt]
-		+	&= \text{Rechte Seite}\,\textrm{.}
-	<math>\begin{cases}x=3\\2x-y=5.\end{cases}</math>	+	\end{align}</math>}}
-		+
-		+
-	This gives <math>x=3</math> and <math>y=2x-5=2\cdot 3-5=1</math>. Thus, the equation has the solution <math>z=3+i</math>.	+
-		+
-	A quick check shows that <math>z=3+i</math> satisfies the equation in the exercise:	+
-		+
-		+
-	<math>\begin{align}LHS &= (1+i)\bar{z}+iz=(1+i)(3-i)+i(3+i)\\	+
-	&= 3-i+3i+1+3i-1 = 3+5i = RHS\end{align}</math>	+
-		+
-	{{NAVCONTENT_STOP}}	+

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Aktuelle Version

Nachdem \displaystyle z und \displaystyle \bar{z} in der Gleichung sind, können wir \displaystyle z (oder \displaystyle \bar{z}) nicht dirket benutzen um die Gleichung zu lösen, benutzen statt dessen

\displaystyle z=x+iy

und lösen die Gleichung für den Realteil \displaystyle x und den Imaginärteil \displaystyle y.

Die linke Seite der Gleichung wird dann

\displaystyle \begin{align} (1+i)(x-iy)+i(x+iy) &= 1\cdot x -1\cdot iy +i\cdot x -i^2y + i\cdot x + i^2y\\[5pt] &= x-iy+ix+y+ix-y\\[5pt] &= x+(2x-y)i \end{align}

also ist die Gleichung

\displaystyle x+(2x-y)i=3+5i\,\textrm{.}

Die beiden Seiten sind gleich, wenn deren Real- und Imaginärteile gleich sind, daher erhalten wir

\displaystyle \left\{\begin{align}x\phantom{{}-y}{}&=3\,,\\[5pt] 2x-y&=5\,\textrm{.}\end{align}\right.

Dies ergibt \displaystyle x=3 und \displaystyle y=2x-5=2\cdot 3-5=1. Also ist die Lösung der Gleichung \displaystyle z=3+i.

Dies überprüfen wir einfach, indem wir \displaystyle z=3+i in der ursprünglichen Gleichung substituieren,

\displaystyle \begin{align} \text{Linke Seite} &= (1+i)\bar{z}+iz\\[5pt] &= (1+i)(3-i)+i(3+i)\\[5pt] &= 3-i+3i+1+3i-1\\[5pt] &= 3+5i\\[5pt] &= \text{Rechte Seite}\,\textrm{.} \end{align}