Lösung 3.1:2c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 2

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{{NAVCONTENT_START}}
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Wir erweitern zuerst die Quadrate mit der binomischen Formel,
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We start by expanding the quadratic in the numerator with the square rule:
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\frac{(2-i\sqrt{3})^2}{1+i\sqrt{3}}
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&= \frac{2^2-2\cdot 2\cdot i\sqrt{3}+(i\sqrt{3})^2}{1+i\sqrt{3}}\\[5pt]
 +
&= \frac{4-4\sqrt{3}i-3}{1+i\sqrt{3}}\\[5pt]
 +
&= \frac{1-4\sqrt{3}i}{1+i\sqrt{3}}\,\textrm{.}
 +
\end{align}</math>}}
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<math>\begin{align}\frac{(2-i\sqrt{3})^2}{1+i\sqrt{3}}&= \frac{2^2-2\cdot 2\cdot i\sqrt{3}+(i\sqrt{3})^2}{1+i\sqrt{3}}\\
+
Danach erweitern wir den Bruch mit dem konjugiert komplexen Nenner,
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&=\frac{4-4\sqrt{3}i-3}{1+i\sqrt{3}}\\
+
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&=\frac{1-4\sqrt{3}i}{1+i\sqrt{3}}\end{align}</math>
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+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
{{NAVCONTENT_STEP}}
+
\frac{1-4\sqrt{3}i}{1+i\sqrt{3}}
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Then, we multiply top and bottom by the complex conjugate of the numerator:
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&= \frac{(1-4\sqrt{3}i)(1-i\sqrt{3})}{(1+i\sqrt{3})(1-i\sqrt{3})}\\[5pt]
-
 
+
&= \frac{1\cdot 1-1\cdot i\sqrt{3}-4\sqrt{3}i\cdot 1+ 4\sqrt{3}i\cdot i \sqrt{3}}{1^2-(i\sqrt{3})^2}\\[5pt]
-
 
+
&= \frac{1-i\sqrt{3}-4\sqrt{3}i+4(\sqrt{3})^2i^2}{1+(\sqrt{3})^2}\\[5pt]
-
<math>\begin{align}\frac{1-4\sqrt{3}i}{1+i\sqrt{3}}&=\frac{(1-4\sqrt{3}i)(1-i\sqrt{3})}{(1+i\sqrt{3})(1-i\sqrt{3})}\\
+
&= \frac{1-(\sqrt{3}+4\sqrt{3})i-4\cdot 3}{1+3}\\[5pt]
-
&=\frac{1\cdot 1-1\cdot i\sqrt{3}-1\cdot 4\sqrt{3}i+ 4\sqrt{3}i\cdot i \sqrt{3}}{1^2-(i\sqrt{3})^2}\\
+
&= \frac{1-12-(1+4)\sqrt{3}i}{4}\\[5pt]
-
&=\frac{1-i\sqrt{3}-4\sqrt{3}i+4(\sqrt{3})^2i^2}{1+(\sqrt{3})^2)}\\
+
&= -\frac{11}{4}-\frac{5\sqrt{3}}{4}i\,\textrm{.}
-
&=\frac{1-(\sqrt{3}+4\sqrt{3})i-4\cdot 3}{1+3}\\
+
\end{align}</math>}}
-
&=\frac{1-12-(1+4)\sqrt{3}i}{4}\\
+
-
&=-\frac{11}{4}-\frac{5\sqrt{3}}{4}i.\end{align}</math>
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+
-
{{NAVCONTENT_STOP}}
+

Aktuelle Version

Wir erweitern zuerst die Quadrate mit der binomischen Formel,

\displaystyle \begin{align}

\frac{(2-i\sqrt{3})^2}{1+i\sqrt{3}} &= \frac{2^2-2\cdot 2\cdot i\sqrt{3}+(i\sqrt{3})^2}{1+i\sqrt{3}}\\[5pt] &= \frac{4-4\sqrt{3}i-3}{1+i\sqrt{3}}\\[5pt] &= \frac{1-4\sqrt{3}i}{1+i\sqrt{3}}\,\textrm{.} \end{align}

Danach erweitern wir den Bruch mit dem konjugiert komplexen Nenner,

\displaystyle \begin{align}

\frac{1-4\sqrt{3}i}{1+i\sqrt{3}} &= \frac{(1-4\sqrt{3}i)(1-i\sqrt{3})}{(1+i\sqrt{3})(1-i\sqrt{3})}\\[5pt] &= \frac{1\cdot 1-1\cdot i\sqrt{3}-4\sqrt{3}i\cdot 1+ 4\sqrt{3}i\cdot i \sqrt{3}}{1^2-(i\sqrt{3})^2}\\[5pt] &= \frac{1-i\sqrt{3}-4\sqrt{3}i+4(\sqrt{3})^2i^2}{1+(\sqrt{3})^2}\\[5pt] &= \frac{1-(\sqrt{3}+4\sqrt{3})i-4\cdot 3}{1+3}\\[5pt] &= \frac{1-12-(1+4)\sqrt{3}i}{4}\\[5pt] &= -\frac{11}{4}-\frac{5\sqrt{3}}{4}i\,\textrm{.} \end{align}

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